Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64940 / 45260
↖ ↑ ↗
← N 48.552978°
W  1.636963°		 ← 202.13 m → N 48.552978°
W  1.634217°		 →
↑
202.15 m
↓
↑
202.15 m
↓
N 48.551160°
W  1.636963°		 ← 202.13 m →
40 861 m²		 N 48.551160°
W  1.634217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495456695556641 y=0.345310211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495456695556641 × 217)
    floor (0.495456695556641 × 131072)
    floor (64940.5)     		tx = 64940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345310211181641 × 217)
    floor (0.345310211181641 × 131072)
    floor (45260.5)     		ty = 45260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64940 / 45260 ti = "17/64940/45260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64940/45260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64940 ÷ 217
    64940 ÷ 131072     		x = 0.495452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45260 ÷ 217
    45260 ÷ 131072     		y = 0.345306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.00909423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02857039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345306396484375 × 2 - 1) × π
    0.30938720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.971968576696259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02857039} λ = -0.02857039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971968576696259))-π/2
    2×atan(2.64314257010402)-π/2
    2×1.20910282869711-π/2
    2.41820565739421-1.57079632675     		φ = 0.84740933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02857039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.636963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84740933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.552978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64940 KachelY 45260 -0.02857039 0.84740933 -1.636963 48.552978
    Oben rechts KachelX + 1 64941 KachelY 45260 -0.02852246 0.84740933 -1.634217 48.552978
    Unten links KachelX 64940 KachelY + 1 45261 -0.02857039 0.84737760 -1.636963 48.551160
    Unten rechts KachelX + 1 64941 KachelY + 1 45261 -0.02852246 0.84737760 -1.634217 48.551160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84740933-0.84737760) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dl = 202.151830000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84740933-0.84737760) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dr = 202.151830000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02857039--0.02852246) × cos(0.84740933) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.661927248554375 × 6371000     		do = 202.127448330885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02857039--0.02852246) × cos(0.84737760) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.661951032016572 × 6371000     		du = 202.134710897182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84740933)-sin(0.84737760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661927248554375-0.661951032016572)×R²
    abs(-0.02852246--0.02857039)×2.37834621968913e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37834621968913e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37834621968913e-05×40589641000000     		ar = 40861.1676471711m²