Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64937 / 45233
↖ ↑ ↗
← N 48.602042°
W  1.645202°		 ← 201.93 m → N 48.602042°
W  1.642456°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
N 48.600225°
W  1.645202°		 ← 201.94 m →
40 796 m²		 N 48.600225°
W  1.642456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495433807373047 y=0.345104217529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495433807373047 × 217)
    floor (0.495433807373047 × 131072)
    floor (64937.5)     		tx = 64937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345104217529297 × 217)
    floor (0.345104217529297 × 131072)
    floor (45233.5)     		ty = 45233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64937 / 45233 ti = "17/64937/45233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64937/45233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64937 ÷ 217
    64937 ÷ 131072     		x = 0.495429992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45233 ÷ 217
    45233 ÷ 131072     		y = 0.345100402832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495429992675781 × 2 - 1) × π
    -0.0091400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02871420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345100402832031 × 2 - 1) × π
    0.309799194335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.973262872986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02871420} λ = -0.02871420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.973262872986))-π/2
    2×atan(2.64656579458125)-π/2
    2×1.20953098591063-π/2
    2.41906197182125-1.57079632675     		φ = 0.84826565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02871420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.645202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84826565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.602042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64937 KachelY 45233 -0.02871420 0.84826565 -1.645202 48.602042
    Oben rechts KachelX + 1 64938 KachelY 45233 -0.02866627 0.84826565 -1.642456 48.602042
    Unten links KachelX 64937 KachelY + 1 45234 -0.02871420 0.84823394 -1.645202 48.600225
    Unten rechts KachelX + 1 64938 KachelY + 1 45234 -0.02866627 0.84823394 -1.642456 48.600225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84826565-0.84823394) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84826565-0.84823394) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02871420--0.02866627) × cos(0.84826565) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.661285135797938 × 6371000     		do = 201.931371476076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02871420--0.02866627) × cos(0.84823394) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.66130892223471 × 6371000     		du = 201.938634950695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84826565)-sin(0.84823394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661285135797938-0.66130892223471)×R²
    abs(-0.02866627--0.02871420)×2.37864367721441e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.37864367721441e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.37864367721441e-05×40589641000000     		ar = 40795.7998859065m²