Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64928 / 45920
↖ ↑ ↗
← N 47.338823°
W  1.669922°		 ← 206.93 m → N 47.338823°
W  1.667175°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
N 47.336961°
W  1.669922°		 ← 206.94 m →
42 834 m²		 N 47.336961°
W  1.667175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495365142822266 y=0.350345611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495365142822266 × 217)
    floor (0.495365142822266 × 131072)
    floor (64928.5)     		tx = 64928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350345611572266 × 217)
    floor (0.350345611572266 × 131072)
    floor (45920.5)     		ty = 45920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64928 / 45920 ti = "17/64928/45920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64928/45920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64928 ÷ 217
    64928 ÷ 131072     		x = 0.495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45920 ÷ 217
    45920 ÷ 131072     		y = 0.350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350341796875 × 2 - 1) × π
    0.29931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.940330222947022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02914563} λ = -0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940330222947022))-π/2
    2×atan(2.56082692253231)-π/2
    2×1.19850732340957-π/2
    2.39701464681914-1.57079632675     		φ = 0.82621832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82621832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.338823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64928 KachelY 45920 -0.02914563 0.82621832 -1.669922 47.338823
    Oben rechts KachelX + 1 64929 KachelY 45920 -0.02909770 0.82621832 -1.667175 47.338823
    Unten links KachelX 64928 KachelY + 1 45921 -0.02914563 0.82618583 -1.669922 47.336961
    Unten rechts KachelX + 1 64929 KachelY + 1 45921 -0.02909770 0.82618583 -1.667175 47.336961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82621832-0.82618583) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dl = 206.993789999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82621832-0.82618583) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dr = 206.993789999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02914563--0.02909770) × cos(0.82621832) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.677661547998942 × 6371000     		do = 206.932105949891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02914563--0.02909770) × cos(0.82618583) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.677685439940462 × 6371000     		du = 206.939401641654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82621832)-sin(0.82618583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677661547998942-0.677685439940462)×R²
    abs(-0.02909770--0.02914563)×2.38919415201932e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.38919415201932e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.38919415201932e-05×40589641000000     		ar = 42834.4159683756m²