Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64927 / 44973
↖ ↑ ↗
← N 49.072066°
W  1.672668°		 ← 200.09 m → N 49.072066°
W  1.669922°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
N 49.070267°
W  1.672668°		 ← 200.09 m →
40 028 m²		 N 49.070267°
W  1.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495357513427734 y=0.343120574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495357513427734 × 217)
    floor (0.495357513427734 × 131072)
    floor (64927.5)     		tx = 64927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343120574951172 × 217)
    floor (0.343120574951172 × 131072)
    floor (44973.5)     		ty = 44973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64927 / 44973 ti = "17/64927/44973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64927/44973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64927 ÷ 217
    64927 ÷ 131072     		x = 0.495353698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44973 ÷ 217
    44973 ÷ 131072     		y = 0.343116760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495353698730469 × 2 - 1) × π
    -0.0092926025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02919357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343116760253906 × 2 - 1) × π
    0.313766479492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.985726466887215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02919357} λ = -0.02919357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985726466887215))-π/2
    2×atan(2.67975793286956)-π/2
    2×1.21363273004951-π/2
    2.42726546009902-1.57079632675     		φ = 0.85646913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02919357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.672668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85646913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.072066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64927 KachelY 44973 -0.02919357 0.85646913 -1.672668 49.072066
    Oben rechts KachelX + 1 64928 KachelY 44973 -0.02914563 0.85646913 -1.669922 49.072066
    Unten links KachelX 64927 KachelY + 1 44974 -0.02919357 0.85643773 -1.672668 49.070267
    Unten rechts KachelX + 1 64928 KachelY + 1 44974 -0.02914563 0.85643773 -1.669922 49.070267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85646913-0.85643773) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85646913-0.85643773) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02919357--0.02914563) × cos(0.85646913) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.655109239195383 × 6371000     		do = 200.087224162086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02919357--0.02914563) × cos(0.85643773) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.655132962645417 × 6371000     		du = 200.094469914368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85646913)-sin(0.85643773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655109239195383-0.655132962645417)×R²
    abs(-0.02914563--0.02919357)×2.37234500340966e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.37234500340966e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.37234500340966e-05×40589641000000     		ar = 40028.0538987242m²