Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64921 / 45121
↖ ↑ ↗
← N 48.805054°
W  1.689148°		 ← 201.12 m → N 48.805054°
W  1.686402°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
N 48.803246°
W  1.689148°		 ← 201.13 m →
40 452 m²		 N 48.803246°
W  1.686402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495311737060547 y=0.344249725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495311737060547 × 217)
    floor (0.495311737060547 × 131072)
    floor (64921.5)     		tx = 64921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344249725341797 × 217)
    floor (0.344249725341797 × 131072)
    floor (45121.5)     		ty = 45121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64921 / 45121 ti = "17/64921/45121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64921/45121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64921 ÷ 217
    64921 ÷ 131072     		x = 0.495307922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45121 ÷ 217
    45121 ÷ 131072     		y = 0.344245910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495307922363281 × 2 - 1) × π
    -0.0093841552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02948119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344245910644531 × 2 - 1) × π
    0.311508178710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.978631805743446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02948119} λ = -0.02948119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978631805743446))-π/2
    2×atan(2.66081324093718)-π/2
    2×1.21130260998232-π/2
    2.42260521996464-1.57079632675     		φ = 0.85180889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02948119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.689148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85180889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.805054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64921 KachelY 45121 -0.02948119 0.85180889 -1.689148 48.805054
    Oben rechts KachelX + 1 64922 KachelY 45121 -0.02943326 0.85180889 -1.686402 48.805054
    Unten links KachelX 64921 KachelY + 1 45122 -0.02948119 0.85177732 -1.689148 48.803246
    Unten rechts KachelX + 1 64922 KachelY + 1 45122 -0.02943326 0.85177732 -1.686402 48.803246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85180889-0.85177732) × R
    3.15700000000918e-05 × 6371000     		dl = 201.132470000585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85180889-0.85177732) × R
    3.15700000000918e-05 × 6371000     		dr = 201.132470000585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02948119--0.02943326) × cos(0.85180889) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.658623083254514 × 6371000     		do = 201.118481707464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02948119--0.02943326) × cos(0.85177732) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.658646838499294 × 6371000     		du = 201.125735657233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85180889)-sin(0.85177732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658623083254514-0.658646838499294)×R²
    abs(-0.02943326--0.02948119)×2.37552447803768e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37552447803768e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37552447803768e-05×40589641000000     		ar = 40452.1864943769m²