Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64917 / 45429
↖ ↑ ↗
← N 48.244797°
W  1.700134°		 ← 203.40 m → N 48.244797°
W  1.697387°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
N 48.242967°
W  1.700134°		 ← 203.41 m →
41 377 m²		 N 48.242967°
W  1.697387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495281219482422 y=0.346599578857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495281219482422 × 217)
    floor (0.495281219482422 × 131072)
    floor (64917.5)     		tx = 64917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346599578857422 × 217)
    floor (0.346599578857422 × 131072)
    floor (45429.5)     		ty = 45429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64917 / 45429 ti = "17/64917/45429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64917/45429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64917 ÷ 217
    64917 ÷ 131072     		x = 0.495277404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45429 ÷ 217
    45429 ÷ 131072     		y = 0.346595764160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495277404785156 × 2 - 1) × π
    -0.0094451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02967294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346595764160156 × 2 - 1) × π
    0.306808471679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.963867240660469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02967294} λ = -0.02967294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963867240660469))-π/2
    2×atan(2.62181608709665)-π/2
    2×1.20641343666592-π/2
    2.41282687333184-1.57079632675     		φ = 0.84203055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02967294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.700134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84203055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.244797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64917 KachelY 45429 -0.02967294 0.84203055 -1.700134 48.244797
    Oben rechts KachelX + 1 64918 KachelY 45429 -0.02962500 0.84203055 -1.697387 48.244797
    Unten links KachelX 64917 KachelY + 1 45430 -0.02967294 0.84199862 -1.700134 48.242967
    Unten rechts KachelX + 1 64918 KachelY + 1 45430 -0.02962500 0.84199862 -1.697387 48.242967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84203055-0.84199862) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84203055-0.84199862) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02967294--0.02962500) × cos(0.84203055) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.665949415774475 × 6371000     		do = 203.398093115486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02967294--0.02962500) × cos(0.84199862) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.665973235116029 × 6371000     		du = 203.405368155506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84203055)-sin(0.84199862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665949415774475-0.665973235116029)×R²
    abs(-0.02962500--0.02967294)×2.38193415544874e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38193415544874e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38193415544874e-05×40589641000000     		ar = 41377.2065618122m²