Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64916 / 46484
↖ ↑ ↗
← N 46.278631°
W  1.702881°		 ← 211.10 m → N 46.278631°
W  1.700134°		 →
↑
211.07 m
↓
↑
211.07 m
↓
N 46.276733°
W  1.702881°		 ← 211.10 m →
44 557 m²		 N 46.276733°
W  1.700134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495273590087891 y=0.354648590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495273590087891 × 217)
    floor (0.495273590087891 × 131072)
    floor (64916.5)     		tx = 64916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354648590087891 × 217)
    floor (0.354648590087891 × 131072)
    floor (46484.5)     		ty = 46484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64916 / 46484 ti = "17/64916/46484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64916/46484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64916 ÷ 217
    64916 ÷ 131072     		x = 0.495269775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46484 ÷ 217
    46484 ÷ 131072     		y = 0.354644775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.00946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02972088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354644775390625 × 2 - 1) × π
    0.29071044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.91329381156131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02972088} λ = -0.02972088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.91329381156131))-π/2
    2×atan(2.4925189149251)-π/2
    2×1.18925540745467-π/2
    2.37851081490934-1.57079632675     		φ = 0.80771449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02972088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.702881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80771449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.278631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64916 KachelY 46484 -0.02972088 0.80771449 -1.702881 46.278631
    Oben rechts KachelX + 1 64917 KachelY 46484 -0.02967294 0.80771449 -1.700134 46.278631
    Unten links KachelX 64916 KachelY + 1 46485 -0.02972088 0.80768136 -1.702881 46.276733
    Unten rechts KachelX + 1 64917 KachelY + 1 46485 -0.02967294 0.80768136 -1.700134 46.276733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80771449-0.80768136) × R
    3.31299999999368e-05 × 6371000     		dl = 211.071229999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80771449-0.80768136) × R
    3.31299999999368e-05 × 6371000     		dr = 211.071229999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02972088--0.02967294) × cos(0.80771449) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.691151996274452 × 6371000     		do = 211.095609914616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02972088--0.02967294) × cos(0.80768136) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.691175939258511 × 6371000     		du = 211.10292271824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80771449)-sin(0.80768136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691151996274452-0.691175939258511)×R²
    abs(-0.02967294--0.02972088)×2.39429840587224e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39429840587224e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39429840587224e-05×40589641000000     		ar = 44556.9817976084m²