Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64916 / 45132
↖ ↑ ↗
← N 48.785152°
W  1.702881°		 ← 201.24 m → N 48.785152°
W  1.700134°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
N 48.783342°
W  1.702881°		 ← 201.25 m →
40 502 m²		 N 48.783342°
W  1.700134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495273590087891 y=0.344333648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495273590087891 × 217)
    floor (0.495273590087891 × 131072)
    floor (64916.5)     		tx = 64916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344333648681641 × 217)
    floor (0.344333648681641 × 131072)
    floor (45132.5)     		ty = 45132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64916 / 45132 ti = "17/64916/45132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64916/45132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64916 ÷ 217
    64916 ÷ 131072     		x = 0.495269775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45132 ÷ 217
    45132 ÷ 131072     		y = 0.344329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.00946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02972088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344329833984375 × 2 - 1) × π
    0.31134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.978104499847626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02972088} λ = -0.02972088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978104499847626))-π/2
    2×atan(2.65941054828411)-π/2
    2×1.21112892761411-π/2
    2.42225785522822-1.57079632675     		φ = 0.85146153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02972088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.702881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85146153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.785152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64916 KachelY 45132 -0.02972088 0.85146153 -1.702881 48.785152
    Oben rechts KachelX + 1 64917 KachelY 45132 -0.02967294 0.85146153 -1.700134 48.785152
    Unten links KachelX 64916 KachelY + 1 45133 -0.02972088 0.85142994 -1.702881 48.783342
    Unten rechts KachelX + 1 64917 KachelY + 1 45133 -0.02967294 0.85142994 -1.700134 48.783342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85146153-0.85142994) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dl = 201.25988999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85146153-0.85142994) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dr = 201.25988999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02972088--0.02967294) × cos(0.85146153) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.658884422540411 × 6371000     		do = 201.240262328891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02972088--0.02967294) × cos(0.85142994) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.658908185605532 × 6371000     		du = 201.247520180641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85146153)-sin(0.85142994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658884422540411-0.658908185605532)×R²
    abs(-0.02967294--0.02972088)×2.37630651217513e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37630651217513e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37630651217513e-05×40589641000000     		ar = 40502.3234202741m²