Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64914 / 46482
↖ ↑ ↗
← N 46.282428°
W  1.708374°		 ← 211.08 m → N 46.282428°
W  1.705627°		 →
↑
211.07 m
↓
↑
211.07 m
↓
N 46.280530°
W  1.708374°		 ← 211.09 m →
44 554 m²		 N 46.280530°
W  1.705627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495258331298828 y=0.354633331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495258331298828 × 217)
    floor (0.495258331298828 × 131072)
    floor (64914.5)     		tx = 64914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354633331298828 × 217)
    floor (0.354633331298828 × 131072)
    floor (46482.5)     		ty = 46482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64914 / 46482 ti = "17/64914/46482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64914/46482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64914 ÷ 217
    64914 ÷ 131072     		x = 0.495254516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46482 ÷ 217
    46482 ÷ 131072     		y = 0.354629516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495254516601562 × 2 - 1) × π
    -0.009490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02981675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354629516601562 × 2 - 1) × π
    0.290740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.91338968536055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02981675} λ = -0.02981675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.91338968536055))-π/2
    2×atan(2.49275789363887)-π/2
    2×1.18928853799077-π/2
    2.37857707598155-1.57079632675     		φ = 0.80778075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02981675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.708374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80778075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.282428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64914 KachelY 46482 -0.02981675 0.80778075 -1.708374 46.282428
    Oben rechts KachelX + 1 64915 KachelY 46482 -0.02976881 0.80778075 -1.705627 46.282428
    Unten links KachelX 64914 KachelY + 1 46483 -0.02981675 0.80774762 -1.708374 46.280530
    Unten rechts KachelX + 1 64915 KachelY + 1 46483 -0.02976881 0.80774762 -1.705627 46.280530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80778075-0.80774762) × R
    3.31300000000478e-05 × 6371000     		dl = 211.071230000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80778075-0.80774762) × R
    3.31300000000478e-05 × 6371000     		dr = 211.071230000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02981675--0.02976881) × cos(0.80778075) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.691104108030542 × 6371000     		do = 211.080983612267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02981675--0.02976881) × cos(0.80774762) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.691128052531787 × 6371000     		du = 211.088296879279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80778075)-sin(0.80774762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691104108030542-0.691128052531787)×R²
    abs(-0.02976881--0.02981675)×2.39445012450989e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39445012450989e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39445012450989e-05×40589641000000     		ar = 44553.8946549292m²