Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64912 / 45936
↖ ↑ ↗
← N 47.309034°
W  1.713867°		 ← 207.09 m → N 47.309034°
W  1.711121°		 →
↑
207.06 m
↓
↑
207.06 m
↓
N 47.307172°
W  1.713867°		 ← 207.10 m →
42 881 m²		 N 47.307172°
W  1.711121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495243072509766 y=0.350467681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495243072509766 × 217)
    floor (0.495243072509766 × 131072)
    floor (64912.5)     		tx = 64912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350467681884766 × 217)
    floor (0.350467681884766 × 131072)
    floor (45936.5)     		ty = 45936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64912 / 45936 ti = "17/64912/45936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64912/45936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64912 ÷ 217
    64912 ÷ 131072     		x = 0.4952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45936 ÷ 217
    45936 ÷ 131072     		y = 0.3504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3504638671875 × 2 - 1) × π
    0.299072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.939563232553101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02991263} λ = -0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.939563232553101))-π/2
    2×atan(2.55886354592399)-π/2
    2×1.19824737016932-π/2
    2.39649474033865-1.57079632675     		φ = 0.82569841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82569841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.309034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64912 KachelY 45936 -0.02991263 0.82569841 -1.713867 47.309034
    Oben rechts KachelX + 1 64913 KachelY 45936 -0.02986469 0.82569841 -1.711121 47.309034
    Unten links KachelX 64912 KachelY + 1 45937 -0.02991263 0.82566591 -1.713867 47.307172
    Unten rechts KachelX + 1 64913 KachelY + 1 45937 -0.02986469 0.82566591 -1.711121 47.307172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82569841-0.82566591) × R
    3.24999999999909e-05 × 6371000     		dl = 207.057499999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82569841-0.82566591) × R
    3.24999999999909e-05 × 6371000     		dr = 207.057499999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02991263--0.02986469) × cos(0.82569841) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678043784656874 × 6371000     		do = 207.092024681225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02991263--0.02986469) × cos(0.82566591) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678067672497983 × 6371000     		du = 207.099320642773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82569841)-sin(0.82566591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678043784656874-0.678067672497983)×R²
    abs(-0.02986469--0.02991263)×2.38878411099597e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38878411099597e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38878411099597e-05×40589641000000     		ar = 42880.7122460459m²