Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64911 / 44945
↖ ↑ ↗
← N 49.122422°
W  1.716614°		 ← 199.84 m → N 49.122422°
W  1.713867°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
N 49.120624°
W  1.716614°		 ← 199.85 m →
39 954 m²		 N 49.120624°
W  1.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495235443115234 y=0.342906951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495235443115234 × 217)
    floor (0.495235443115234 × 131072)
    floor (64911.5)     		tx = 64911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342906951904297 × 217)
    floor (0.342906951904297 × 131072)
    floor (44945.5)     		ty = 44945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64911 / 44945 ti = "17/64911/44945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64911/44945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64911 ÷ 217
    64911 ÷ 131072     		x = 0.495231628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44945 ÷ 217
    44945 ÷ 131072     		y = 0.342903137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495231628417969 × 2 - 1) × π
    -0.0095367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02996056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342903137207031 × 2 - 1) × π
    0.314193725585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.987068700076576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02996056} λ = -0.02996056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987068700076576))-π/2
    2×atan(2.68335720789935)-π/2
    2×1.21407216182076-π/2
    2.42814432364153-1.57079632675     		φ = 0.85734800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02996056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.716614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85734800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.122422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64911 KachelY 44945 -0.02996056 0.85734800 -1.716614 49.122422
    Oben rechts KachelX + 1 64912 KachelY 44945 -0.02991263 0.85734800 -1.713867 49.122422
    Unten links KachelX 64911 KachelY + 1 44946 -0.02996056 0.85731662 -1.716614 49.120624
    Unten rechts KachelX + 1 64912 KachelY + 1 44946 -0.02991263 0.85731662 -1.713867 49.120624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85734800-0.85731662) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85734800-0.85731662) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02996056--0.02991263) × cos(0.85734800) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654444969956058 × 6371000     		do = 199.842644549078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02996056--0.02991263) × cos(0.85731662) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654468696354208 × 6371000     		du = 199.849889690181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85734800)-sin(0.85731662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654444969956058-0.654468696354208)×R²
    abs(-0.02991263--0.02996056)×2.3726398149071e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3726398149071e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3726398149071e-05×40589641000000     		ar = 39953.6614215234m²