Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64909 / 45445
↖ ↑ ↗
← N 48.215523°
W  1.722107°		 ← 203.51 m → N 48.215523°
W  1.719360°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
N 48.213693°
W  1.722107°		 ← 203.52 m →
41 414 m²		 N 48.213693°
W  1.719360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495220184326172 y=0.346721649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495220184326172 × 217)
    floor (0.495220184326172 × 131072)
    floor (64909.5)     		tx = 64909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346721649169922 × 217)
    floor (0.346721649169922 × 131072)
    floor (45445.5)     		ty = 45445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64909 / 45445 ti = "17/64909/45445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64909/45445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64909 ÷ 217
    64909 ÷ 131072     		x = 0.495216369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45445 ÷ 217
    45445 ÷ 131072     		y = 0.346717834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495216369628906 × 2 - 1) × π
    -0.0095672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03005644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346717834472656 × 2 - 1) × π
    0.306564331054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.963100250266548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03005644} λ = -0.03005644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963100250266548))-π/2
    2×atan(2.61980595031956)-π/2
    2×1.20615797519663-π/2
    2.41231595039327-1.57079632675     		φ = 0.84151962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03005644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.722107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84151962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.215523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64909 KachelY 45445 -0.03005644 0.84151962 -1.722107 48.215523
    Oben rechts KachelX + 1 64910 KachelY 45445 -0.03000850 0.84151962 -1.719360 48.215523
    Unten links KachelX 64909 KachelY + 1 45446 -0.03005644 0.84148768 -1.722107 48.213693
    Unten rechts KachelX + 1 64910 KachelY + 1 45446 -0.03000850 0.84148768 -1.719360 48.213693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84151962-0.84148768) × R
    3.19400000000636e-05 × 6371000     		dl = 203.489740000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84151962-0.84148768) × R
    3.19400000000636e-05 × 6371000     		dr = 203.489740000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03005644--0.03000850) × cos(0.84151962) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666330481031422 × 6371000     		do = 203.514480253577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03005644--0.03000850) × cos(0.84148768) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666354296961731 × 6371000     		du = 203.521754251716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84151962)-sin(0.84148768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666330481031422-0.666354296961731)×R²
    abs(-0.03000850--0.03005644)×2.38159303089791e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38159303089791e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38159303089791e-05×40589641000000     		ar = 41413.8487686731m²