Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64908 / 45940
↖ ↑ ↗
← N 47.301584°
W  1.724853°		 ← 207.08 m → N 47.301584°
W  1.722107°		 →
↑
207.12 m
↓
↑
207.12 m
↓
N 47.299722°
W  1.724853°		 ← 207.09 m →
42 891 m²		 N 47.299722°
W  1.722107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495212554931641 y=0.350498199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495212554931641 × 217)
    floor (0.495212554931641 × 131072)
    floor (64908.5)     		tx = 64908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350498199462891 × 217)
    floor (0.350498199462891 × 131072)
    floor (45940.5)     		ty = 45940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64908 / 45940 ti = "17/64908/45940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64908/45940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64908 ÷ 217
    64908 ÷ 131072     		x = 0.495208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45940 ÷ 217
    45940 ÷ 131072     		y = 0.350494384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495208740234375 × 2 - 1) × π
    -0.00958251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03010437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350494384765625 × 2 - 1) × π
    0.29901123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.93937148495462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03010437} λ = -0.03010437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93937148495462))-π/2
    2×atan(2.55837293702226)-π/2
    2×1.19818235895488-π/2
    2.39636471790976-1.57079632675     		φ = 0.82556839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03010437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.724853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82556839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.301584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64908 KachelY 45940 -0.03010437 0.82556839 -1.724853 47.301584
    Oben rechts KachelX + 1 64909 KachelY 45940 -0.03005644 0.82556839 -1.722107 47.301584
    Unten links KachelX 64908 KachelY + 1 45941 -0.03010437 0.82553588 -1.724853 47.299722
    Unten rechts KachelX + 1 64909 KachelY + 1 45941 -0.03005644 0.82553588 -1.722107 47.299722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82556839-0.82553588) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dl = 207.121210000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82556839-0.82553588) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dr = 207.121210000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03010437--0.03005644) × cos(0.82556839) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.678139346422626 × 6371000     		do = 207.078007446478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03010437--0.03005644) × cos(0.82553588) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.67816323874742 × 6371000     		du = 207.085303255279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82556839)-sin(0.82553588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678139346422626-0.67816323874742)×R²
    abs(-0.03005644--0.03010437)×2.38923247949385e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.38923247949385e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.38923247949385e-05×40589641000000     		ar = 42891.0030288979m²