Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64903 / 45962
↖ ↑ ↗
← N 47.260592°
W  1.738587°		 ← 207.28 m → N 47.260592°
W  1.735840°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
N 47.258728°
W  1.738587°		 ← 207.29 m →
42 960 m²		 N 47.258728°
W  1.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495174407958984 y=0.350666046142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495174407958984 × 217)
    floor (0.495174407958984 × 131072)
    floor (64903.5)     		tx = 64903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350666046142578 × 217)
    floor (0.350666046142578 × 131072)
    floor (45962.5)     		ty = 45962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64903 / 45962 ti = "17/64903/45962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64903/45962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64903 ÷ 217
    64903 ÷ 131072     		x = 0.495170593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45962 ÷ 217
    45962 ÷ 131072     		y = 0.350662231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495170593261719 × 2 - 1) × π
    -0.0096588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03034406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350662231445312 × 2 - 1) × π
    0.298675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.938316873162979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03034406} λ = -0.03034406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938316873162979))-π/2
    2×atan(2.55567626897436)-π/2
    2×1.19782463349714-π/2
    2.39564926699429-1.57079632675     		φ = 0.82485294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03034406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.738587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82485294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.260592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64903 KachelY 45962 -0.03034406 0.82485294 -1.738587 47.260592
    Oben rechts KachelX + 1 64904 KachelY 45962 -0.03029612 0.82485294 -1.735840 47.260592
    Unten links KachelX 64903 KachelY + 1 45963 -0.03034406 0.82482041 -1.738587 47.258728
    Unten rechts KachelX + 1 64904 KachelY + 1 45963 -0.03029612 0.82482041 -1.735840 47.258728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82485294-0.82482041) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dl = 207.248630000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82485294-0.82482041) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dr = 207.248630000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03034406--0.03029612) × cos(0.82485294) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678664980882853 × 6371000     		do = 207.28175399823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03034406--0.03029612) × cos(0.82482041) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678688872116742 × 6371000     		du = 207.28905099602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82485294)-sin(0.82482041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678664980882853-0.678688872116742)×R²
    abs(-0.03029612--0.03034406)×2.38912338892394e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38912338892394e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38912338892394e-05×40589641000000     		ar = 42959.615690414m²