Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64901 / 45446
↖ ↑ ↗
← N 48.213693°
W  1.744080°		 ← 203.52 m → N 48.213693°
W  1.741333°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
N 48.211863°
W  1.744080°		 ← 203.53 m →
41 415 m²		 N 48.211863°
W  1.741333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495159149169922 y=0.346729278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495159149169922 × 217)
    floor (0.495159149169922 × 131072)
    floor (64901.5)     		tx = 64901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346729278564453 × 217)
    floor (0.346729278564453 × 131072)
    floor (45446.5)     		ty = 45446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64901 / 45446 ti = "17/64901/45446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64901/45446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64901 ÷ 217
    64901 ÷ 131072     		x = 0.495155334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45446 ÷ 217
    45446 ÷ 131072     		y = 0.346725463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495155334472656 × 2 - 1) × π
    -0.0096893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03043993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346725463867188 × 2 - 1) × π
    0.306549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.963052313366928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03043993} λ = -0.03043993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963052313366928))-π/2
    2×atan(2.61968036795473)-π/2
    2×1.20614200400257-π/2
    2.41228400800514-1.57079632675     		φ = 0.84148768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03043993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.744080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84148768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.213693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64901 KachelY 45446 -0.03043993 0.84148768 -1.744080 48.213693
    Oben rechts KachelX + 1 64902 KachelY 45446 -0.03039199 0.84148768 -1.741333 48.213693
    Unten links KachelX 64901 KachelY + 1 45447 -0.03043993 0.84145574 -1.744080 48.211863
    Unten rechts KachelX + 1 64902 KachelY + 1 45447 -0.03039199 0.84145574 -1.741333 48.211863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84148768-0.84145574) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dl = 203.489739999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84148768-0.84145574) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dr = 203.489739999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03043993--0.03039199) × cos(0.84148768) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666354296961731 × 6371000     		do = 203.521754251716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03043993--0.03039199) × cos(0.84145574) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.66637811221225 × 6371000     		du = 203.529028042228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84148768)-sin(0.84145574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666354296961731-0.66637811221225)×R²
    abs(-0.03039199--0.03043993)×2.38152505185329e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38152505185329e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38152505185329e-05×40589641000000     		ar = 41415.3289313487m²