Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64901 / 45444
↖ ↑ ↗
← N 48.217353°
W  1.744080°		 ← 203.51 m → N 48.217353°
W  1.741333°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
N 48.215523°
W  1.744080°		 ← 203.51 m →
41 412 m²		 N 48.215523°
W  1.741333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495159149169922 y=0.346714019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495159149169922 × 217)
    floor (0.495159149169922 × 131072)
    floor (64901.5)     		tx = 64901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346714019775391 × 217)
    floor (0.346714019775391 × 131072)
    floor (45444.5)     		ty = 45444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64901 / 45444 ti = "17/64901/45444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64901/45444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64901 ÷ 217
    64901 ÷ 131072     		x = 0.495155334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45444 ÷ 217
    45444 ÷ 131072     		y = 0.346710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495155334472656 × 2 - 1) × π
    -0.0096893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03043993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346710205078125 × 2 - 1) × π
    0.30657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.963148187166168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03043993} λ = -0.03043993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963148187166168))-π/2
    2×atan(2.61993153870456)-π/2
    2×1.20617394581983-π/2
    2.41234789163965-1.57079632675     		φ = 0.84155156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03043993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.744080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84155156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.217353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64901 KachelY 45444 -0.03043993 0.84155156 -1.744080 48.217353
    Oben rechts KachelX + 1 64902 KachelY 45444 -0.03039199 0.84155156 -1.741333 48.217353
    Unten links KachelX 64901 KachelY + 1 45445 -0.03043993 0.84151962 -1.744080 48.215523
    Unten rechts KachelX + 1 64902 KachelY + 1 45445 -0.03039199 0.84151962 -1.741333 48.215523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84155156-0.84151962) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dl = 203.489739999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84155156-0.84151962) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dr = 203.489739999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03043993--0.03039199) × cos(0.84155156) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666306664421347 × 6371000     		do = 203.507206047821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03043993--0.03039199) × cos(0.84151962) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666330481031422 × 6371000     		du = 203.514480253577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84155156)-sin(0.84151962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666306664421347-0.666330481031422)×R²
    abs(-0.03039199--0.03043993)×2.38166100751114e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38166100751114e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38166100751114e-05×40589641000000     		ar = 41412.3685632226m²