Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64900 / 45956
↖ ↑ ↗
← N 47.271775°
W  1.746826°		 ← 207.24 m → N 47.271775°
W  1.744080°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
N 47.269911°
W  1.746826°		 ← 207.25 m →
42 951 m²		 N 47.269911°
W  1.744080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495151519775391 y=0.350620269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495151519775391 × 217)
    floor (0.495151519775391 × 131072)
    floor (64900.5)     		tx = 64900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350620269775391 × 217)
    floor (0.350620269775391 × 131072)
    floor (45956.5)     		ty = 45956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64900 / 45956 ti = "17/64900/45956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64900/45956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64900 ÷ 217
    64900 ÷ 131072     		x = 0.495147705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45956 ÷ 217
    45956 ÷ 131072     		y = 0.350616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495147705078125 × 2 - 1) × π
    -0.00970458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03048787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350616455078125 × 2 - 1) × π
    0.29876708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.938604494560699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03048787} λ = -0.03048787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938604494560699))-π/2
    2×atan(2.55641144187562)-π/2
    2×1.19792222247384-π/2
    2.39584444494768-1.57079632675     		φ = 0.82504812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03048787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.746826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82504812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.271775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64900 KachelY 45956 -0.03048787 0.82504812 -1.746826 47.271775
    Oben rechts KachelX + 1 64901 KachelY 45956 -0.03043993 0.82504812 -1.744080 47.271775
    Unten links KachelX 64900 KachelY + 1 45957 -0.03048787 0.82501559 -1.746826 47.269911
    Unten rechts KachelX + 1 64901 KachelY + 1 45957 -0.03043993 0.82501559 -1.744080 47.269911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82504812-0.82501559) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dl = 207.248630000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82504812-0.82501559) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dr = 207.248630000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03048787--0.03043993) × cos(0.82504812) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678521618398961 × 6371000     		do = 207.237967405499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03048787--0.03043993) × cos(0.82501559) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678545513941454 × 6371000     		du = 207.245265719248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82504812)-sin(0.82501559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678521618398961-0.678545513941454)×R²
    abs(-0.03043993--0.03048787)×2.38955424933796e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38955424933796e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38955424933796e-05×40589641000000     		ar = 42950.5411155318m²