Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64899 / 45955
↖ ↑ ↗
← N 47.273638°
W  1.749573°		 ← 207.23 m → N 47.273638°
W  1.746826°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
N 47.271775°
W  1.749573°		 ← 207.24 m →
42 936 m²		 N 47.271775°
W  1.746826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495143890380859 y=0.350612640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495143890380859 × 217)
    floor (0.495143890380859 × 131072)
    floor (64899.5)     		tx = 64899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350612640380859 × 217)
    floor (0.350612640380859 × 131072)
    floor (45955.5)     		ty = 45955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64899 / 45955 ti = "17/64899/45955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64899/45955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64899 ÷ 217
    64899 ÷ 131072     		x = 0.495140075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45955 ÷ 217
    45955 ÷ 131072     		y = 0.350608825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495140075683594 × 2 - 1) × π
    -0.0097198486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03053581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350608825683594 × 2 - 1) × π
    0.298782348632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.93865243146032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03053581} λ = -0.03053581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93865243146032))-π/2
    2×atan(2.55653399125159)-π/2
    2×1.19793848529889-π/2
    2.39587697059778-1.57079632675     		φ = 0.82508064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03053581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.749573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82508064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.273638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64899 KachelY 45955 -0.03053581 0.82508064 -1.749573 47.273638
    Oben rechts KachelX + 1 64900 KachelY 45955 -0.03048787 0.82508064 -1.746826 47.273638
    Unten links KachelX 64899 KachelY + 1 45956 -0.03053581 0.82504812 -1.749573 47.271775
    Unten rechts KachelX + 1 64900 KachelY + 1 45956 -0.03048787 0.82504812 -1.746826 47.271775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82508064-0.82504812) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dl = 207.184919999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82508064-0.82504812) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dr = 207.184919999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03053581--0.03048787) × cos(0.82508064) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.67849772948448 × 6371000     		do = 207.230671116116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03053581--0.03048787) × cos(0.82504812) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678521618398961 × 6371000     		du = 207.237967405499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82508064)-sin(0.82504812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67849772948448-0.678521618398961)×R²
    abs(-0.03048787--0.03053581)×2.38889144804633e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38889144804633e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38889144804633e-05×40589641000000     		ar = 42935.825860952m²