Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64899 / 45954
↖ ↑ ↗
← N 47.275502°
W  1.749573°		 ← 207.22 m → N 47.275502°
W  1.746826°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
N 47.273638°
W  1.749573°		 ← 207.23 m →
42 948 m²		 N 47.273638°
W  1.746826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495143890380859 y=0.350605010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495143890380859 × 217)
    floor (0.495143890380859 × 131072)
    floor (64899.5)     		tx = 64899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350605010986328 × 217)
    floor (0.350605010986328 × 131072)
    floor (45954.5)     		ty = 45954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64899 / 45954 ti = "17/64899/45954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64899/45954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64899 ÷ 217
    64899 ÷ 131072     		x = 0.495140075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45954 ÷ 217
    45954 ÷ 131072     		y = 0.350601196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495140075683594 × 2 - 1) × π
    -0.0097198486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03053581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350601196289062 × 2 - 1) × π
    0.298797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.93870036835994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03053581} λ = -0.03053581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93870036835994))-π/2
    2×atan(2.55665654650234)-π/2
    2×1.19795474755126-π/2
    2.39590949510251-1.57079632675     		φ = 0.82511317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03053581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.749573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82511317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.275502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64899 KachelY 45954 -0.03053581 0.82511317 -1.749573 47.275502
    Oben rechts KachelX + 1 64900 KachelY 45954 -0.03048787 0.82511317 -1.746826 47.275502
    Unten links KachelX 64899 KachelY + 1 45955 -0.03053581 0.82508064 -1.749573 47.273638
    Unten rechts KachelX + 1 64900 KachelY + 1 45955 -0.03048787 0.82508064 -1.746826 47.273638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82511317-0.82508064) × R
    3.25299999999196e-05 × 6371000     		dl = 207.248629999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82511317-0.82508064) × R
    3.25299999999196e-05 × 6371000     		dr = 207.248629999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03053581--0.03048787) × cos(0.82511317) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678473832506209 × 6371000     		do = 207.223372363844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03053581--0.03048787) × cos(0.82508064) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.67849772948448 × 6371000     		du = 207.230671116116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82511317)-sin(0.82508064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678473832506209-0.67849772948448)×R²
    abs(-0.03048787--0.03053581)×2.38969782715426e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38969782715426e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38969782715426e-05×40589641000000     		ar = 42947.51635827m²