Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64898 / 45965
↖ ↑ ↗
← N 47.255000°
W  1.752319°		 ← 207.26 m → N 47.255000°
W  1.749573°		 →
↑
207.31 m
↓
↑
207.31 m
↓
N 47.253136°
W  1.752319°		 ← 207.27 m →
42 968 m²		 N 47.253136°
W  1.749573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495136260986328 y=0.350688934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495136260986328 × 217)
    floor (0.495136260986328 × 131072)
    floor (64898.5)     		tx = 64898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350688934326172 × 217)
    floor (0.350688934326172 × 131072)
    floor (45965.5)     		ty = 45965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64898 / 45965 ti = "17/64898/45965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64898/45965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64898 ÷ 217
    64898 ÷ 131072     		x = 0.495132446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45965 ÷ 217
    45965 ÷ 131072     		y = 0.350685119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495132446289062 × 2 - 1) × π
    -0.009735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03058374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350685119628906 × 2 - 1) × π
    0.298629760742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.938173062464119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03058374} λ = -0.03058374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938173062464119))-π/2
    2×atan(2.55530876181042)-π/2
    2×1.1977758312774-π/2
    2.3955516625548-1.57079632675     		φ = 0.82475534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03058374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.752319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82475534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.255000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64898 KachelY 45965 -0.03058374 0.82475534 -1.752319 47.255000
    Oben rechts KachelX + 1 64899 KachelY 45965 -0.03053581 0.82475534 -1.749573 47.255000
    Unten links KachelX 64898 KachelY + 1 45966 -0.03058374 0.82472280 -1.752319 47.253136
    Unten rechts KachelX + 1 64899 KachelY + 1 45966 -0.03053581 0.82472280 -1.749573 47.253136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82475534-0.82472280) × R
    3.25399999999698e-05 × 6371000     		dl = 207.312339999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82475534-0.82472280) × R
    3.25399999999698e-05 × 6371000     		dr = 207.312339999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03058374--0.03053581) × cos(0.82475534) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.678736659773745 × 6371000     		do = 207.260404263937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03058374--0.03053581) × cos(0.82472280) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.678760556196367 × 6371000     		du = 207.267701324059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82475534)-sin(0.82472280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678736659773745-0.678760556196367)×R²
    abs(-0.03053581--0.03058374)×2.38964226216831e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38964226216831e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38964226216831e-05×40589641000000     		ar = 42968.3957862308m²