Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64898 / 45442
↖ ↑ ↗
← N 48.221013°
W  1.752319°		 ← 203.45 m → N 48.221013°
W  1.749573°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
N 48.219183°
W  1.752319°		 ← 203.46 m →
41 401 m²		 N 48.219183°
W  1.749573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495136260986328 y=0.346698760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495136260986328 × 217)
    floor (0.495136260986328 × 131072)
    floor (64898.5)     		tx = 64898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346698760986328 × 217)
    floor (0.346698760986328 × 131072)
    floor (45442.5)     		ty = 45442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64898 / 45442 ti = "17/64898/45442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64898/45442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64898 ÷ 217
    64898 ÷ 131072     		x = 0.495132446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45442 ÷ 217
    45442 ÷ 131072     		y = 0.346694946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495132446289062 × 2 - 1) × π
    -0.009735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03058374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346694946289062 × 2 - 1) × π
    0.306610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.963244060965408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03058374} λ = -0.03058374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963244060965408))-π/2
    2×atan(2.62018273353623)-π/2
    2×1.20620588535361-π/2
    2.41241177070723-1.57079632675     		φ = 0.84161544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03058374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.752319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84161544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.221013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64898 KachelY 45442 -0.03058374 0.84161544 -1.752319 48.221013
    Oben rechts KachelX + 1 64899 KachelY 45442 -0.03053581 0.84161544 -1.749573 48.221013
    Unten links KachelX 64898 KachelY + 1 45443 -0.03058374 0.84158350 -1.752319 48.219183
    Unten rechts KachelX + 1 64899 KachelY + 1 45443 -0.03053581 0.84158350 -1.749573 48.219183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84161544-0.84158350) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dl = 203.489739999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84161544-0.84158350) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dr = 203.489739999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03058374--0.03053581) × cos(0.84161544) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.666259029161996 × 6371000     		do = 203.450209650743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03058374--0.03053581) × cos(0.84158350) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.66628284713153 × 6371000     		du = 203.45748275427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84161544)-sin(0.84158350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666259029161996-0.66628284713153)×R²
    abs(-0.03053581--0.03058374)×2.38179695343232e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38179695343232e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38179695343232e-05×40589641000000     		ar = 41400.7702691729m²