Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64897 / 45441
↖ ↑ ↗
← N 48.222843°
W  1.755066°		 ← 203.49 m → N 48.222843°
W  1.752319°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
N 48.221013°
W  1.755066°		 ← 203.49 m →
41 408 m²		 N 48.221013°
W  1.752319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495128631591797 y=0.346691131591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495128631591797 × 217)
    floor (0.495128631591797 × 131072)
    floor (64897.5)     		tx = 64897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346691131591797 × 217)
    floor (0.346691131591797 × 131072)
    floor (45441.5)     		ty = 45441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64897 / 45441 ti = "17/64897/45441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64897/45441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64897 ÷ 217
    64897 ÷ 131072     		x = 0.495124816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45441 ÷ 217
    45441 ÷ 131072     		y = 0.346687316894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495124816894531 × 2 - 1) × π
    -0.0097503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03063168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346687316894531 × 2 - 1) × π
    0.306625366210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.963291997865028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03063168} λ = -0.03063168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963291997865028))-π/2
    2×atan(2.62030833998348)-π/2
    2×1.20622185426421-π/2
    2.41244370852843-1.57079632675     		φ = 0.84164738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03063168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.755066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84164738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.222843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64897 KachelY 45441 -0.03063168 0.84164738 -1.755066 48.222843
    Oben rechts KachelX + 1 64898 KachelY 45441 -0.03058374 0.84164738 -1.752319 48.222843
    Unten links KachelX 64897 KachelY + 1 45442 -0.03063168 0.84161544 -1.755066 48.221013
    Unten rechts KachelX + 1 64898 KachelY + 1 45442 -0.03058374 0.84161544 -1.752319 48.221013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84164738-0.84161544) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dl = 203.489739999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84164738-0.84161544) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dr = 203.489739999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03063168--0.03058374) × cos(0.84164738) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666235210512768 × 6371000     		do = 203.485382184917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03063168--0.03058374) × cos(0.84161544) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666259029161996 × 6371000     		du = 203.492657013483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84164738)-sin(0.84161544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666235210512768-0.666259029161996)×R²
    abs(-0.03058374--0.03063168)×2.38186492276249e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38186492276249e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38186492276249e-05×40589641000000     		ar = 41407.9276945426m²