Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64896 / 45950
↖ ↑ ↗
← N 47.282955°
W  1.757813°		 ← 207.19 m → N 47.282955°
W  1.755066°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
N 47.281092°
W  1.757813°		 ← 207.20 m →
42 928 m²		 N 47.281092°
W  1.755066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495121002197266 y=0.350574493408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495121002197266 × 217)
    floor (0.495121002197266 × 131072)
    floor (64896.5)     		tx = 64896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350574493408203 × 217)
    floor (0.350574493408203 × 131072)
    floor (45950.5)     		ty = 45950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64896 / 45950 ti = "17/64896/45950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64896/45950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64896 ÷ 217
    64896 ÷ 131072     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45950 ÷ 217
    45950 ÷ 131072     		y = 0.350570678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350570678710938 × 2 - 1) × π
    0.298858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93889211595842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93889211595842))-π/2
    2×atan(2.55714682625876)-π/2
    2×1.19801979083401-π/2
    2.39603958166803-1.57079632675     		φ = 0.82524325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82524325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.282955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64896 KachelY 45950 -0.03067962 0.82524325 -1.757813 47.282955
    Oben rechts KachelX + 1 64897 KachelY 45950 -0.03063168 0.82524325 -1.755066 47.282955
    Unten links KachelX 64896 KachelY + 1 45951 -0.03067962 0.82521073 -1.757813 47.281092
    Unten rechts KachelX + 1 64897 KachelY + 1 45951 -0.03063168 0.82521073 -1.755066 47.281092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82524325-0.82521073) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dl = 207.184919999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82524325-0.82521073) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dr = 207.184919999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.03063168) × cos(0.82524325) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678378266802272 × 6371000     		do = 207.194184138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.03063168) × cos(0.82521073) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678402159304448 × 6371000     		du = 207.201481523158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82524325)-sin(0.82521073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678378266802272-0.678402159304448)×R²
    abs(-0.03063168--0.03067962)×2.38925021760483e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38925021760483e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38925021760483e-05×40589641000000     		ar = 42928.2664230315m²