Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64896 / 44926
↖ ↑ ↗
← N 49.156562°
W  1.757813°		 ← 199.75 m → N 49.156562°
W  1.755066°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
N 49.154766°
W  1.757813°		 ← 199.75 m →
39 896 m²		 N 49.154766°
W  1.755066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495121002197266 y=0.342761993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495121002197266 × 217)
    floor (0.495121002197266 × 131072)
    floor (64896.5)     		tx = 64896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342761993408203 × 217)
    floor (0.342761993408203 × 131072)
    floor (44926.5)     		ty = 44926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64896 / 44926 ti = "17/64896/44926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64896/44926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64896 ÷ 217
    64896 ÷ 131072     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44926 ÷ 217
    44926 ÷ 131072     		y = 0.342758178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342758178710938 × 2 - 1) × π
    0.314483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987979501169357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987979501169357))-π/2
    2×atan(2.68580232591568)-π/2
    2×1.2143700938016-π/2
    2.4287401876032-1.57079632675     		φ = 0.85794386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85794386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.156562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64896 KachelY 44926 -0.03067962 0.85794386 -1.757813 49.156562
    Oben rechts KachelX + 1 64897 KachelY 44926 -0.03063168 0.85794386 -1.755066 49.156562
    Unten links KachelX 64896 KachelY + 1 44927 -0.03067962 0.85791251 -1.757813 49.154766
    Unten rechts KachelX + 1 64897 KachelY + 1 44927 -0.03063168 0.85791251 -1.755066 49.154766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85794386-0.85791251) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85794386-0.85791251) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.03063168) × cos(0.85794386) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.653994318315093 × 6371000     		do = 199.746698627182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.03063168) × cos(0.85791251) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.654018034251751 × 6371000     		du = 199.753942084686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85794386)-sin(0.85791251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653994318315093-0.654018034251751)×R²
    abs(-0.03063168--0.03067962)×2.37159366586193e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.37159366586193e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.37159366586193e-05×40589641000000     		ar = 39896.301275625m²