Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64892 / 45451
↖ ↑ ↗
← N 48.204541°
W  1.768799°		 ← 203.52 m → N 48.204541°
W  1.766052°		 →
↑
203.55 m
↓
↑
203.55 m
↓
N 48.202710°
W  1.768799°		 ← 203.52 m →
41 427 m²		 N 48.202710°
W  1.766052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495090484619141 y=0.346767425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495090484619141 × 217)
    floor (0.495090484619141 × 131072)
    floor (64892.5)     		tx = 64892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346767425537109 × 217)
    floor (0.346767425537109 × 131072)
    floor (45451.5)     		ty = 45451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64892 / 45451 ti = "17/64892/45451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64892/45451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64892 ÷ 217
    64892 ÷ 131072     		x = 0.495086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45451 ÷ 217
    45451 ÷ 131072     		y = 0.346763610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.00982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03087136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346763610839844 × 2 - 1) × π
    0.306472778320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.962812628868828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03087136} λ = -0.03087136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962812628868828))-π/2
    2×atan(2.61905254642311)-π/2
    2×1.20606213946904-π/2
    2.41212427893807-1.57079632675     		φ = 0.84132795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03087136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.768799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84132795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.204541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64892 KachelY 45451 -0.03087136 0.84132795 -1.768799 48.204541
    Oben rechts KachelX + 1 64893 KachelY 45451 -0.03082343 0.84132795 -1.766052 48.204541
    Unten links KachelX 64892 KachelY + 1 45452 -0.03087136 0.84129600 -1.768799 48.202710
    Unten rechts KachelX + 1 64893 KachelY + 1 45452 -0.03082343 0.84129600 -1.766052 48.202710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84132795-0.84129600) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dl = 203.553450000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84132795-0.84129600) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dr = 203.553450000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03087136--0.03082343) × cos(0.84132795) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.666473388781799 × 6371000     		do = 203.515666939396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03087136--0.03082343) × cos(0.84129600) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.666497208087438 × 6371000     		du = 203.522940450919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84132795)-sin(0.84129600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666473388781799-0.666497208087438)×R²
    abs(-0.03082343--0.03087136)×2.38193056387725e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38193056387725e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38193056387725e-05×40589641000000     		ar = 41427.0564121536m²