Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64887 / 45134
↖ ↑ ↗
← N 48.781533°
W  1.782532°		 ← 201.25 m → N 48.781533°
W  1.779785°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
N 48.779723°
W  1.782532°		 ← 201.26 m →
40 505 m²		 N 48.779723°
W  1.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495052337646484 y=0.344348907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495052337646484 × 217)
    floor (0.495052337646484 × 131072)
    floor (64887.5)     		tx = 64887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344348907470703 × 217)
    floor (0.344348907470703 × 131072)
    floor (45134.5)     		ty = 45134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64887 / 45134 ti = "17/64887/45134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64887/45134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64887 ÷ 217
    64887 ÷ 131072     		x = 0.495048522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45134 ÷ 217
    45134 ÷ 131072     		y = 0.344345092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495048522949219 × 2 - 1) × π
    -0.0099029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03111105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344345092773438 × 2 - 1) × π
    0.311309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.978008626048386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03111105} λ = -0.03111105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978008626048386))-π/2
    2×atan(2.65915559271309)-π/2
    2×1.21109734159866-π/2
    2.42219468319733-1.57079632675     		φ = 0.85139836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03111105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.782532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85139836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.781533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64887 KachelY 45134 -0.03111105 0.85139836 -1.782532 48.781533
    Oben rechts KachelX + 1 64888 KachelY 45134 -0.03106311 0.85139836 -1.779785 48.781533
    Unten links KachelX 64887 KachelY + 1 45135 -0.03111105 0.85136677 -1.782532 48.779723
    Unten rechts KachelX + 1 64888 KachelY + 1 45135 -0.03106311 0.85136677 -1.779785 48.779723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85139836-0.85136677) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dl = 201.25988999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85139836-0.85136677) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dr = 201.25988999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03111105--0.03106311) × cos(0.85139836) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.658931940491086 × 6371000     		do = 201.254775534125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03111105--0.03106311) × cos(0.85136677) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.658955702241306 × 6371000     		du = 201.26203298427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85139836)-sin(0.85136677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658931940491086-0.658955702241306)×R²
    abs(-0.03106311--0.03111105)×2.37617502202303e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.37617502202303e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.37617502202303e-05×40589641000000     		ar = 40505.2443061155m²