Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64886 / 45143
↖ ↑ ↗
← N 48.765242°
W  1.785278°		 ← 201.28 m → N 48.765242°
W  1.782532°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
N 48.763431°
W  1.785278°		 ← 201.29 m →
40 523 m²		 N 48.763431°
W  1.782532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495044708251953 y=0.344417572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495044708251953 × 217)
    floor (0.495044708251953 × 131072)
    floor (64886.5)     		tx = 64886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344417572021484 × 217)
    floor (0.344417572021484 × 131072)
    floor (45143.5)     		ty = 45143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64886 / 45143 ti = "17/64886/45143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64886/45143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64886 ÷ 217
    64886 ÷ 131072     		x = 0.495040893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45143 ÷ 217
    45143 ÷ 131072     		y = 0.344413757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495040893554688 × 2 - 1) × π
    -0.009918212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03115898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344413757324219 × 2 - 1) × π
    0.311172485351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.977577193951805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03115898} λ = -0.03115898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977577193951805))-π/2
    2×atan(2.65800859508417)-π/2
    2×1.21095517633891-π/2
    2.42191035267781-1.57079632675     		φ = 0.85111403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03115898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.785278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85111403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.765242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64886 KachelY 45143 -0.03115898 0.85111403 -1.785278 48.765242
    Oben rechts KachelX + 1 64887 KachelY 45143 -0.03111105 0.85111403 -1.782532 48.765242
    Unten links KachelX 64886 KachelY + 1 45144 -0.03115898 0.85108243 -1.785278 48.763431
    Unten rechts KachelX + 1 64887 KachelY + 1 45144 -0.03111105 0.85108243 -1.782532 48.763431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85111403-0.85108243) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85111403-0.85108243) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03115898--0.03111105) × cos(0.85111403) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.659145787608125 × 6371000     		do = 201.278095769958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03115898--0.03111105) × cos(0.85108243) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.659169550958705 × 6371000     		du = 201.285352194931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85111403)-sin(0.85108243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659145787608125-0.659169550958705)×R²
    abs(-0.03111105--0.03115898)×2.37633505800749e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.37633505800749e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.37633505800749e-05×40589641000000     		ar = 40522.7612896278m²