Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64886 / 43926
↖ ↑ ↗
← N 50.920350°
W  1.785278°		 ← 192.50 m → N 50.920350°
W  1.782532°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
N 50.918619°
W  1.785278°		 ← 192.51 m →
37 063 m²		 N 50.918619°
W  1.782532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495044708251953 y=0.335132598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495044708251953 × 217)
    floor (0.495044708251953 × 131072)
    floor (64886.5)     		tx = 64886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335132598876953 × 217)
    floor (0.335132598876953 × 131072)
    floor (43926.5)     		ty = 43926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64886 / 43926 ti = "17/64886/43926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64886/43926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64886 ÷ 217
    64886 ÷ 131072     		x = 0.495040893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43926 ÷ 217
    43926 ÷ 131072     		y = 0.335128784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495040893554688 × 2 - 1) × π
    -0.009918212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03115898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335128784179688 × 2 - 1) × π
    0.329742431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03591640078941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03115898} λ = -0.03115898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03591640078941))-π/2
    2×atan(2.81768718361144)-π/2
    2×1.22976204971777-π/2
    2.45952409943553-1.57079632675     		φ = 0.88872777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03115898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.785278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88872777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.920350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64886 KachelY 43926 -0.03115898 0.88872777 -1.785278 50.920350
    Oben rechts KachelX + 1 64887 KachelY 43926 -0.03111105 0.88872777 -1.782532 50.920350
    Unten links KachelX 64886 KachelY + 1 43927 -0.03115898 0.88869755 -1.785278 50.918619
    Unten rechts KachelX + 1 64887 KachelY + 1 43927 -0.03111105 0.88869755 -1.782532 50.918619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88872777-0.88869755) × R
    3.02200000000807e-05 × 6371000     		dl = 192.531620000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88872777-0.88869755) × R
    3.02200000000807e-05 × 6371000     		dr = 192.531620000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03115898--0.03111105) × cos(0.88872777) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.63040013092298 × 6371000     		do = 192.500263690899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03115898--0.03111105) × cos(0.88869755) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.63042358952546 × 6371000     		du = 192.507427057374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88872777)-sin(0.88869755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63040013092298-0.63042358952546)×R²
    abs(-0.03111105--0.03115898)×2.34586024804306e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.34586024804306e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.34586024804306e-05×40589641000000     		ar = 37063.0772089168m²