Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64885 / 45139
↖ ↑ ↗
← N 48.772483°
W  1.788025°		 ← 201.29 m → N 48.772483°
W  1.785278°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
N 48.770672°
W  1.788025°		 ← 201.30 m →
40 525 m²		 N 48.770672°
W  1.785278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495037078857422 y=0.344387054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495037078857422 × 217)
    floor (0.495037078857422 × 131072)
    floor (64885.5)     		tx = 64885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344387054443359 × 217)
    floor (0.344387054443359 × 131072)
    floor (45139.5)     		ty = 45139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64885 / 45139 ti = "17/64885/45139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64885/45139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64885 ÷ 217
    64885 ÷ 131072     		x = 0.495033264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45139 ÷ 217
    45139 ÷ 131072     		y = 0.344383239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495033264160156 × 2 - 1) × π
    -0.0099334716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03120692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344383239746094 × 2 - 1) × π
    0.311233520507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.977768941550285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03120692} λ = -0.03120692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977768941550285))-π/2
    2×atan(2.65851831071583)-π/2
    2×1.21101836659391-π/2
    2.42203673318782-1.57079632675     		φ = 0.85124041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03120692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.788025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85124041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.772483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64885 KachelY 45139 -0.03120692 0.85124041 -1.788025 48.772483
    Oben rechts KachelX + 1 64886 KachelY 45139 -0.03115898 0.85124041 -1.785278 48.772483
    Unten links KachelX 64885 KachelY + 1 45140 -0.03120692 0.85120881 -1.788025 48.770672
    Unten rechts KachelX + 1 64886 KachelY + 1 45140 -0.03115898 0.85120881 -1.785278 48.770672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85124041-0.85120881) × R
    3.15999999999095e-05 × 6371000     		dl = 201.323599999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85124041-0.85120881) × R
    3.15999999999095e-05 × 6371000     		dr = 201.323599999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03120692--0.03115898) × cos(0.85124041) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.659050742666046 × 6371000     		do = 201.291060776326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03120692--0.03115898) × cos(0.85120881) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.659074508648853 × 6371000     		du = 201.298319519211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85124041)-sin(0.85120881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659050742666046-0.659074508648853)×R²
    abs(-0.03115898--0.03120692)×2.3765982807511e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3765982807511e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3765982807511e-05×40589641000000     		ar = 40525.3716845611m²