Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64884 / 45452
↖ ↑ ↗
← N 48.202710°
W  1.790772°		 ← 203.57 m → N 48.202710°
W  1.788025°		 →
↑
203.55 m
↓
↑
203.55 m
↓
N 48.200880°
W  1.790772°		 ← 203.57 m →
41 437 m²		 N 48.200880°
W  1.788025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495029449462891 y=0.346775054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495029449462891 × 217)
    floor (0.495029449462891 × 131072)
    floor (64884.5)     		tx = 64884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346775054931641 × 217)
    floor (0.346775054931641 × 131072)
    floor (45452.5)     		ty = 45452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64884 / 45452 ti = "17/64884/45452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64884/45452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64884 ÷ 217
    64884 ÷ 131072     		x = 0.495025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45452 ÷ 217
    45452 ÷ 131072     		y = 0.346771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.00994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03125486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346771240234375 × 2 - 1) × π
    0.30645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.962764691969208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03125486} λ = -0.03125486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962764691969208))-π/2
    2×atan(2.61892700017326)-π/2
    2×1.20604616484966-π/2
    2.41209232969931-1.57079632675     		φ = 0.84129600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03125486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.790772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84129600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.202710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64884 KachelY 45452 -0.03125486 0.84129600 -1.790772 48.202710
    Oben rechts KachelX + 1 64885 KachelY 45452 -0.03120692 0.84129600 -1.788025 48.202710
    Unten links KachelX 64884 KachelY + 1 45453 -0.03125486 0.84126405 -1.790772 48.200880
    Unten rechts KachelX + 1 64885 KachelY + 1 45453 -0.03120692 0.84126405 -1.788025 48.200880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84129600-0.84126405) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dl = 203.553450000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84129600-0.84126405) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dr = 203.553450000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03125486--0.03120692) × cos(0.84129600) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.666497208087438 × 6371000     		do = 203.565402988054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03125486--0.03120692) × cos(0.84126405) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.666521026712715 × 6371000     		du = 203.572677809304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84129600)-sin(0.84126405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666497208087438-0.666521026712715)×R²
    abs(-0.03120692--0.03125486)×2.38186252768946e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38186252768946e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38186252768946e-05×40589641000000     		ar = 41437.1804899065m²