Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64880 / 45137
↖ ↑ ↗
← N 48.776103°
W  1.801758°		 ← 201.28 m → N 48.776103°
W  1.799011°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
N 48.774293°
W  1.801758°		 ← 201.28 m →
40 510 m²		 N 48.774293°
W  1.799011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494998931884766 y=0.344371795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494998931884766 × 217)
    floor (0.494998931884766 × 131072)
    floor (64880.5)     		tx = 64880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344371795654297 × 217)
    floor (0.344371795654297 × 131072)
    floor (45137.5)     		ty = 45137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64880 / 45137 ti = "17/64880/45137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64880/45137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64880 ÷ 217
    64880 ÷ 131072     		x = 0.4949951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45137 ÷ 217
    45137 ÷ 131072     		y = 0.344367980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4949951171875 × 2 - 1) × π
    -0.010009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03144661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344367980957031 × 2 - 1) × π
    0.311264038085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.977864815349526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03144661} λ = -0.03144661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977864815349526))-π/2
    2×atan(2.65877320518529)-π/2
    2×1.21104995830432-π/2
    2.42209991660863-1.57079632675     		φ = 0.85130359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03144661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85130359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.776103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64880 KachelY 45137 -0.03144661 0.85130359 -1.801758 48.776103
    Oben rechts KachelX + 1 64881 KachelY 45137 -0.03139867 0.85130359 -1.799011 48.776103
    Unten links KachelX 64880 KachelY + 1 45138 -0.03144661 0.85127200 -1.801758 48.774293
    Unten rechts KachelX + 1 64881 KachelY + 1 45138 -0.03139867 0.85127200 -1.799011 48.774293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85130359-0.85127200) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dl = 201.25988999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85130359-0.85127200) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dr = 201.25988999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03144661--0.03139867) × cos(0.85130359) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.659003223768951 × 6371000     		do = 201.276547282031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03144661--0.03139867) × cos(0.85127200) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.659026983546329 × 6371000     		du = 201.283804129619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85130359)-sin(0.85127200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659003223768951-0.659026983546329)×R²
    abs(-0.03139867--0.03144661)×2.37597773777853e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37597773777853e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37597773777853e-05×40589641000000     		ar = 40509.6260251518m²