Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64867 / 45104
↖ ↑ ↗
← N 48.835798°
W  1.837464°		 ← 201.04 m → N 48.835798°
W  1.834717°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
N 48.833990°
W  1.837464°		 ← 201.04 m →
40 410 m²		 N 48.833990°
W  1.834717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494899749755859 y=0.344120025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494899749755859 × 217)
    floor (0.494899749755859 × 131072)
    floor (64867.5)     		tx = 64867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344120025634766 × 217)
    floor (0.344120025634766 × 131072)
    floor (45104.5)     		ty = 45104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64867 / 45104 ti = "17/64867/45104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64867/45104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64867 ÷ 217
    64867 ÷ 131072     		x = 0.494895935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45104 ÷ 217
    45104 ÷ 131072     		y = 0.3441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494895935058594 × 2 - 1) × π
    -0.0102081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03206979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3441162109375 × 2 - 1) × π
    0.311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.979446733036987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03206979} λ = -0.03206979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979446733036987))-π/2
    2×atan(2.66298249404197)-π/2
    2×1.21157089266649-π/2
    2.42314178533298-1.57079632675     		φ = 0.85234546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03206979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.837464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85234546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.835798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64867 KachelY 45104 -0.03206979 0.85234546 -1.837464 48.835798
    Oben rechts KachelX + 1 64868 KachelY 45104 -0.03202185 0.85234546 -1.834717 48.835798
    Unten links KachelX 64867 KachelY + 1 45105 -0.03206979 0.85231391 -1.837464 48.833990
    Unten rechts KachelX + 1 64868 KachelY + 1 45105 -0.03202185 0.85231391 -1.834717 48.833990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85234546-0.85231391) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dl = 201.005049999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85234546-0.85231391) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dr = 201.005049999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03206979--0.03202185) × cos(0.85234546) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.658219234018474 × 6371000     		do = 201.037096632339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03206979--0.03202185) × cos(0.85231391) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.658242985360681 × 6371000     		du = 201.044350903609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85234546)-sin(0.85231391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658219234018474-0.658242985360681)×R²
    abs(-0.03202185--0.03206979)×2.37513422063351e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37513422063351e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37513422063351e-05×40589641000000     		ar = 40410.2007364104m²