Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64864 / 45408
↖ ↑ ↗
← N 48.283193°
W  1.845703°		 ← 203.25 m → N 48.283193°
W  1.842957°		 →
↑
203.23 m
↓
↑
203.23 m
↓
N 48.281365°
W  1.845703°		 ← 203.25 m →
41 307 m²		 N 48.281365°
W  1.842957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494876861572266 y=0.346439361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494876861572266 × 217)
    floor (0.494876861572266 × 131072)
    floor (64864.5)     		tx = 64864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346439361572266 × 217)
    floor (0.346439361572266 × 131072)
    floor (45408.5)     		ty = 45408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64864 / 45408 ti = "17/64864/45408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64864/45408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64864 ÷ 217
    64864 ÷ 131072     		x = 0.494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45408 ÷ 217
    45408 ÷ 131072     		y = 0.346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346435546875 × 2 - 1) × π
    0.30712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.96487391555249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03221360} λ = -0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96487391555249))-π/2
    2×atan(2.6244567324357)-π/2
    2×1.20674850808913-π/2
    2.41349701617827-1.57079632675     		φ = 0.84270069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84270069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.283193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64864 KachelY 45408 -0.03221360 0.84270069 -1.845703 48.283193
    Oben rechts KachelX + 1 64865 KachelY 45408 -0.03216566 0.84270069 -1.842957 48.283193
    Unten links KachelX 64864 KachelY + 1 45409 -0.03221360 0.84266879 -1.845703 48.281365
    Unten rechts KachelX + 1 64865 KachelY + 1 45409 -0.03216566 0.84266879 -1.842957 48.281365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84270069-0.84266879) × R
    3.19000000000846e-05 × 6371000     		dl = 203.234900000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84270069-0.84266879) × R
    3.19000000000846e-05 × 6371000     		dr = 203.234900000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03221360--0.03216566) × cos(0.84270069) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.665449343914145 × 6371000     		do = 203.245358297506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03221360--0.03216566) × cos(0.84266879) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.665473155107651 × 6371000     		du = 203.252630848903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84270069)-sin(0.84266879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665449343914145-0.665473155107651)×R²
    abs(-0.03216566--0.03221360)×2.38111935060292e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38111935060292e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38111935060292e-05×40589641000000     		ar = 41307.289090891m²