Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64861 / 44941
↖ ↑ ↗
← N 49.129611°
W  1.853943°		 ← 199.86 m → N 49.129611°
W  1.851196°		 →
↑
199.86 m
↓
↑
199.86 m
↓
N 49.127814°
W  1.853943°		 ← 199.86 m →
39 943 m²		 N 49.127814°
W  1.851196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494853973388672 y=0.342876434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494853973388672 × 217)
    floor (0.494853973388672 × 131072)
    floor (64861.5)     		tx = 64861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342876434326172 × 217)
    floor (0.342876434326172 × 131072)
    floor (44941.5)     		ty = 44941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64861 / 44941 ti = "17/64861/44941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64861/44941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64861 ÷ 217
    64861 ÷ 131072     		x = 0.494850158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44941 ÷ 217
    44941 ÷ 131072     		y = 0.342872619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494850158691406 × 2 - 1) × π
    -0.0102996826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03235741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342872619628906 × 2 - 1) × π
    0.314254760742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.987260447675056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03235741} λ = -0.03235741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987260447675056))-π/2
    2×atan(2.68387178453267)-π/2
    2×1.21413490139832-π/2
    2.42826980279664-1.57079632675     		φ = 0.85747348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03235741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.853943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85747348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.129611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64861 KachelY 44941 -0.03235741 0.85747348 -1.853943 49.129611
    Oben rechts KachelX + 1 64862 KachelY 44941 -0.03230947 0.85747348 -1.851196 49.129611
    Unten links KachelX 64861 KachelY + 1 44942 -0.03235741 0.85744211 -1.853943 49.127814
    Unten rechts KachelX + 1 64862 KachelY + 1 44942 -0.03230947 0.85744211 -1.851196 49.127814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85747348-0.85744211) × R
    3.1369999999975e-05 × 6371000     		dl = 199.858269999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85747348-0.85744211) × R
    3.1369999999975e-05 × 6371000     		dr = 199.858269999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03235741--0.03230947) × cos(0.85747348) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.654350088167018 × 6371000     		do = 199.85535989749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03235741--0.03230947) × cos(0.85744211) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.654373809580233 × 6371000     		du = 199.862605027675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85747348)-sin(0.85744211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654350088167018-0.654373809580233)×R²
    abs(-0.03230947--0.03235741)×2.37214132147168e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37214132147168e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37214132147168e-05×40589641000000     		ar = 39943.4704822741m²