Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64860 / 45095
↖ ↑ ↗
← N 48.852066°
W  1.856689°		 ← 200.93 m → N 48.852066°
W  1.853943°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 48.850258°
W  1.856689°		 ← 200.94 m →
40 376 m²		 N 48.850258°
W  1.853943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494846343994141 y=0.344051361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494846343994141 × 217)
    floor (0.494846343994141 × 131072)
    floor (64860.5)     		tx = 64860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344051361083984 × 217)
    floor (0.344051361083984 × 131072)
    floor (45095.5)     		ty = 45095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64860 / 45095 ti = "17/64860/45095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64860/45095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64860 ÷ 217
    64860 ÷ 131072     		x = 0.494842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45095 ÷ 217
    45095 ÷ 131072     		y = 0.344047546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.01031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03240534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344047546386719 × 2 - 1) × π
    0.311904907226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.979878165133568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03240534} λ = -0.03240534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979878165133568))-π/2
    2×atan(2.6641316380335)-π/2
    2×1.21171285806093-π/2
    2.42342571612186-1.57079632675     		φ = 0.85262939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03240534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.856689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85262939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.852066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64860 KachelY 45095 -0.03240534 0.85262939 -1.856689 48.852066
    Oben rechts KachelX + 1 64861 KachelY 45095 -0.03235741 0.85262939 -1.853943 48.852066
    Unten links KachelX 64860 KachelY + 1 45096 -0.03240534 0.85259785 -1.856689 48.850258
    Unten rechts KachelX + 1 64861 KachelY + 1 45096 -0.03235741 0.85259785 -1.853943 48.850258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85262939-0.85259785) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dl = 200.941340000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85262939-0.85259785) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dr = 200.941340000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03240534--0.03235741) × cos(0.85262939) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.65800545751803 × 6371000     		do = 200.929882258762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03240534--0.03235741) × cos(0.85259785) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.658029207225783 × 6371000     		du = 200.937134517733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85262939)-sin(0.85259785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65800545751803-0.658029207225783)×R²
    abs(-0.03235741--0.03240534)×2.37497077535398e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.37497077535398e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.37497077535398e-05×40589641000000     		ar = 40375.8484298792m²