Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64859 / 45123
↖ ↑ ↗
← N 48.801437°
W  1.859436°		 ← 201.17 m → N 48.801437°
W  1.856689°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
N 48.799627°
W  1.859436°		 ← 201.18 m →
40 476 m²		 N 48.799627°
W  1.856689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494838714599609 y=0.344264984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494838714599609 × 217)
    floor (0.494838714599609 × 131072)
    floor (64859.5)     		tx = 64859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344264984130859 × 217)
    floor (0.344264984130859 × 131072)
    floor (45123.5)     		ty = 45123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64859 / 45123 ti = "17/64859/45123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64859/45123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64859 ÷ 217
    64859 ÷ 131072     		x = 0.494834899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45123 ÷ 217
    45123 ÷ 131072     		y = 0.344261169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494834899902344 × 2 - 1) × π
    -0.0103302001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03245328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344261169433594 × 2 - 1) × π
    0.311477661132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.978535931944206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03245328} λ = -0.03245328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978535931944206))-π/2
    2×atan(2.66055815089113)-π/2
    2×1.21127103649494-π/2
    2.42254207298989-1.57079632675     		φ = 0.85174575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03245328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.859436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85174575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.801437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64859 KachelY 45123 -0.03245328 0.85174575 -1.859436 48.801437
    Oben rechts KachelX + 1 64860 KachelY 45123 -0.03240534 0.85174575 -1.856689 48.801437
    Unten links KachelX 64859 KachelY + 1 45124 -0.03245328 0.85171417 -1.859436 48.799627
    Unten rechts KachelX + 1 64860 KachelY + 1 45124 -0.03240534 0.85171417 -1.856689 48.799627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85174575-0.85171417) × R
    3.157999999992e-05 × 6371000     		dl = 201.19617999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85174575-0.85171417) × R
    3.157999999992e-05 × 6371000     		dr = 201.19617999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03245328--0.03240534) × cos(0.85174575) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.658670593087624 × 6371000     		do = 201.17495331004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03245328--0.03240534) × cos(0.85171417) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.658694354543587 × 6371000     		du = 201.182210670311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85174575)-sin(0.85171417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658670593087624-0.658694354543587)×R²
    abs(-0.03240534--0.03245328)×2.3761455962501e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.3761455962501e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3761455962501e-05×40589641000000     		ar = 40476.3621975322m²