Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64859 / 45098
↖ ↑ ↗
← N 48.846644°
W  1.859436°		 ← 200.99 m → N 48.846644°
W  1.856689°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
N 48.844836°
W  1.859436°		 ← 201 m →
40 401 m²		 N 48.844836°
W  1.856689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494838714599609 y=0.344074249267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494838714599609 × 217)
    floor (0.494838714599609 × 131072)
    floor (64859.5)     		tx = 64859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344074249267578 × 217)
    floor (0.344074249267578 × 131072)
    floor (45098.5)     		ty = 45098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64859 / 45098 ti = "17/64859/45098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64859/45098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64859 ÷ 217
    64859 ÷ 131072     		x = 0.494834899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45098 ÷ 217
    45098 ÷ 131072     		y = 0.344070434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494834899902344 × 2 - 1) × π
    -0.0103302001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03245328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344070434570312 × 2 - 1) × π
    0.311859130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.979734354434708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03245328} λ = -0.03245328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979734354434708))-π/2
    2×atan(2.66374853494861)-π/2
    2×1.21166554138667-π/2
    2.42333108277333-1.57079632675     		φ = 0.85253476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03245328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.859436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85253476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.846644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64859 KachelY 45098 -0.03245328 0.85253476 -1.859436 48.846644
    Oben rechts KachelX + 1 64860 KachelY 45098 -0.03240534 0.85253476 -1.856689 48.846644
    Unten links KachelX 64859 KachelY + 1 45099 -0.03245328 0.85250321 -1.859436 48.844836
    Unten rechts KachelX + 1 64860 KachelY + 1 45099 -0.03240534 0.85250321 -1.856689 48.844836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85253476-0.85250321) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dl = 201.005049999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85253476-0.85250321) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dr = 201.005049999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03245328--0.03240534) × cos(0.85253476) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.658076712207009 × 6371000     		do = 200.993566802607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03245328--0.03240534) × cos(0.85250321) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.658100467480019 × 6371000     		du = 201.000822274445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85253476)-sin(0.85250321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658076712207009-0.658100467480019)×R²
    abs(-0.03240534--0.03245328)×2.37552730101287e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37552730101287e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37552730101287e-05×40589641000000     		ar = 40401.4511414139m²