Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64858 / 45116
↖ ↑ ↗
← N 48.814098°
W  1.862183°		 ← 201.12 m → N 48.814098°
W  1.859436°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
N 48.812290°
W  1.862183°		 ← 201.13 m →
40 453 m²		 N 48.812290°
W  1.859436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494831085205078 y=0.344211578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494831085205078 × 217)
    floor (0.494831085205078 × 131072)
    floor (64858.5)     		tx = 64858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344211578369141 × 217)
    floor (0.344211578369141 × 131072)
    floor (45116.5)     		ty = 45116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64858 / 45116 ti = "17/64858/45116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64858/45116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64858 ÷ 217
    64858 ÷ 131072     		x = 0.494827270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45116 ÷ 217
    45116 ÷ 131072     		y = 0.344207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494827270507812 × 2 - 1) × π
    -0.010345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03250122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344207763671875 × 2 - 1) × π
    0.31158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.978871490241547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03250122} λ = -0.03250122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978871490241547))-π/2
    2×atan(2.66145107305956)-π/2
    2×1.21138153373587-π/2
    2.42276306747175-1.57079632675     		φ = 0.85196674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03250122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.862183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85196674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.814098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64858 KachelY 45116 -0.03250122 0.85196674 -1.862183 48.814098
    Oben rechts KachelX + 1 64859 KachelY 45116 -0.03245328 0.85196674 -1.859436 48.814098
    Unten links KachelX 64858 KachelY + 1 45117 -0.03250122 0.85193517 -1.862183 48.812290
    Unten rechts KachelX + 1 64859 KachelY + 1 45117 -0.03245328 0.85193517 -1.859436 48.812290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85196674-0.85193517) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dl = 201.132469999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85196674-0.85193517) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dr = 201.132469999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03250122--0.03245328) × cos(0.85196674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.658504297184688 × 6371000     		do = 201.124162260798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03250122--0.03245328) × cos(0.85193517) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.658528055711364 × 6371000     		du = 201.131418726389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85196674)-sin(0.85193517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658504297184688-0.658528055711364)×R²
    abs(-0.03245328--0.03250122)×2.3758526676021e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3758526676021e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3758526676021e-05×40589641000000     		ar = 40453.3292909255m²