Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64853 / 44933
↖ ↑ ↗
← N 49.143987°
W  1.875915°		 ← 199.76 m → N 49.143987°
W  1.873169°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
N 49.142190°
W  1.875915°		 ← 199.76 m →
39 911 m²		 N 49.142190°
W  1.873169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494792938232422 y=0.342815399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494792938232422 × 217)
    floor (0.494792938232422 × 131072)
    floor (64853.5)     		tx = 64853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342815399169922 × 217)
    floor (0.342815399169922 × 131072)
    floor (44933.5)     		ty = 44933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64853 / 44933 ti = "17/64853/44933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64853/44933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64853 ÷ 217
    64853 ÷ 131072     		x = 0.494789123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44933 ÷ 217
    44933 ÷ 131072     		y = 0.342811584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494789123535156 × 2 - 1) × π
    -0.0104217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03274090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342811584472656 × 2 - 1) × π
    0.314376831054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.987643942872017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03274090} λ = -0.03274090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987643942872017))-π/2
    2×atan(2.68490123385311)-π/2
    2×1.21426035326441-π/2
    2.42852070652883-1.57079632675     		φ = 0.85772438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03274090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.875915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85772438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.143987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64853 KachelY 44933 -0.03274090 0.85772438 -1.875915 49.143987
    Oben rechts KachelX + 1 64854 KachelY 44933 -0.03269297 0.85772438 -1.873169 49.143987
    Unten links KachelX 64853 KachelY + 1 44934 -0.03274090 0.85769302 -1.875915 49.142190
    Unten rechts KachelX + 1 64854 KachelY + 1 44934 -0.03269297 0.85769302 -1.873169 49.142190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85772438-0.85769302) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dl = 199.794559999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85772438-0.85769302) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dr = 199.794559999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03274090--0.03269297) × cos(0.85772438) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654160339063108 × 6371000     		do = 199.755729081806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03274090--0.03269297) × cos(0.85769302) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.65418405806253 × 6371000     		du = 199.762971963619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85772438)-sin(0.85769302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654160339063108-0.65418405806253)×R²
    abs(-0.03269297--0.03274090)×2.37189994223286e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37189994223286e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37189994223286e-05×40589641000000     		ar = 39910.8315466902m²