Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64844 / 45148
↖ ↑ ↗
← N 48.756188°
W  1.900635°		 ← 201.31 m → N 48.756188°
W  1.897888°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
N 48.754378°
W  1.900635°		 ← 201.32 m →
40 530 m²		 N 48.754378°
W  1.897888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494724273681641 y=0.344455718994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494724273681641 × 217)
    floor (0.494724273681641 × 131072)
    floor (64844.5)     		tx = 64844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344455718994141 × 217)
    floor (0.344455718994141 × 131072)
    floor (45148.5)     		ty = 45148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64844 / 45148 ti = "17/64844/45148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64844/45148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64844 ÷ 217
    64844 ÷ 131072     		x = 0.494720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45148 ÷ 217
    45148 ÷ 131072     		y = 0.344451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.01055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03317233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344451904296875 × 2 - 1) × π
    0.31109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.977337509453705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03317233} λ = -0.03317233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977337509453705))-π/2
    2×atan(2.65737158797153)-π/2
    2×1.21087617570565-π/2
    2.4217523514113-1.57079632675     		φ = 0.85095602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03317233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.900635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85095602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.756188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64844 KachelY 45148 -0.03317233 0.85095602 -1.900635 48.756188
    Oben rechts KachelX + 1 64845 KachelY 45148 -0.03312440 0.85095602 -1.897888 48.756188
    Unten links KachelX 64844 KachelY + 1 45149 -0.03317233 0.85092442 -1.900635 48.754378
    Unten rechts KachelX + 1 64845 KachelY + 1 45149 -0.03312440 0.85092442 -1.897888 48.754378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85095602-0.85092442) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85095602-0.85092442) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03317233--0.03312440) × cos(0.85095602) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.659264605297694 × 6371000     		do = 201.314378180859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03317233--0.03312440) × cos(0.85092442) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.659288365356727 × 6371000     		du = 201.321633600719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85095602)-sin(0.85092442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659264605297694-0.659288365356727)×R²
    abs(-0.03312440--0.03317233)×2.37600590327069e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37600590327069e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37600590327069e-05×40589641000000     		ar = 40530.0656942285m²