Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64844 / 44012
↖ ↑ ↗
← N 50.771208°
W  1.900635°		 ← 193.12 m → N 50.771208°
W  1.897888°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
N 50.769471°
W  1.900635°		 ← 193.12 m →
37 292 m²		 N 50.769471°
W  1.897888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494724273681641 y=0.335788726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494724273681641 × 217)
    floor (0.494724273681641 × 131072)
    floor (64844.5)     		tx = 64844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335788726806641 × 217)
    floor (0.335788726806641 × 131072)
    floor (44012.5)     		ty = 44012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64844 / 44012 ti = "17/64844/44012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64844/44012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64844 ÷ 217
    64844 ÷ 131072     		x = 0.494720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44012 ÷ 217
    44012 ÷ 131072     		y = 0.335784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.01055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03317233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335784912109375 × 2 - 1) × π
    0.32843017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03179382742209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03317233} λ = -0.03317233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03179382742209))-π/2
    2×atan(2.80609497275875)-π/2
    2×1.22846053432851-π/2
    2.45692106865702-1.57079632675     		φ = 0.88612474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03317233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.900635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88612474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.771208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64844 KachelY 44012 -0.03317233 0.88612474 -1.900635 50.771208
    Oben rechts KachelX + 1 64845 KachelY 44012 -0.03312440 0.88612474 -1.897888 50.771208
    Unten links KachelX 64844 KachelY + 1 44013 -0.03317233 0.88609443 -1.900635 50.769471
    Unten rechts KachelX + 1 64845 KachelY + 1 44013 -0.03312440 0.88609443 -1.897888 50.769471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88612474-0.88609443) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dl = 193.105009999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88612474-0.88609443) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dr = 193.105009999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03317233--0.03312440) × cos(0.88612474) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632418647961062 × 6371000     		do = 193.116642151252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03317233--0.03312440) × cos(0.88609443) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632442126608366 × 6371000     		du = 193.123811638654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88612474)-sin(0.88609443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632418647961062-0.632442126608366)×R²
    abs(-0.03312440--0.03317233)×2.34786473038984e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34786473038984e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34786473038984e-05×40589641000000     		ar = 37292.4833485965m²