Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64842 / 45130
↖ ↑ ↗
← N 48.788771°
W  1.906128°		 ← 201.23 m → N 48.788771°
W  1.903381°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
N 48.786961°
W  1.906128°		 ← 201.23 m →
40 499 m²		 N 48.786961°
W  1.903381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494709014892578 y=0.344318389892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494709014892578 × 217)
    floor (0.494709014892578 × 131072)
    floor (64842.5)     		tx = 64842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344318389892578 × 217)
    floor (0.344318389892578 × 131072)
    floor (45130.5)     		ty = 45130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64842 / 45130 ti = "17/64842/45130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64842/45130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64842 ÷ 217
    64842 ÷ 131072     		x = 0.494705200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45130 ÷ 217
    45130 ÷ 131072     		y = 0.344314575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494705200195312 × 2 - 1) × π
    -0.010589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03326821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344314575195312 × 2 - 1) × π
    0.311370849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.978200373646866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03326821} λ = -0.03326821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978200373646866))-π/2
    2×atan(2.65966552829987)-π/2
    2×1.21116051135164-π/2
    2.42232102270328-1.57079632675     		φ = 0.85152470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03326821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.906128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85152470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.788771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64842 KachelY 45130 -0.03326821 0.85152470 -1.906128 48.788771
    Oben rechts KachelX + 1 64843 KachelY 45130 -0.03322027 0.85152470 -1.903381 48.788771
    Unten links KachelX 64842 KachelY + 1 45131 -0.03326821 0.85149311 -1.906128 48.786961
    Unten rechts KachelX + 1 64843 KachelY + 1 45131 -0.03322027 0.85149311 -1.903381 48.786961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85152470-0.85149311) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dl = 201.25988999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85152470-0.85149311) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dr = 201.25988999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03326821--0.03322027) × cos(0.85152470) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.658836901960491 × 6371000     		do = 201.225748320575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03326821--0.03322027) × cos(0.85149311) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.65886066634042 × 6371000     		du = 201.2330065739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85152470)-sin(0.85149311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658836901960491-0.65886066634042)×R²
    abs(-0.03322027--0.03326821)×2.37643799284593e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37643799284593e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37643799284593e-05×40589641000000     		ar = 40499.4023730459m²