Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64841 / 45009
↖ ↑ ↗
← N 49.007249°
W  1.908875°		 ← 200.35 m → N 49.007249°
W  1.906128°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
N 49.005447°
W  1.908875°		 ← 200.36 m →
40 144 m²		 N 49.005447°
W  1.906128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494701385498047 y=0.343395233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494701385498047 × 217)
    floor (0.494701385498047 × 131072)
    floor (64841.5)     		tx = 64841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343395233154297 × 217)
    floor (0.343395233154297 × 131072)
    floor (45009.5)     		ty = 45009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64841 / 45009 ti = "17/64841/45009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64841/45009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64841 ÷ 217
    64841 ÷ 131072     		x = 0.494697570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45009 ÷ 217
    45009 ÷ 131072     		y = 0.343391418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494697570800781 × 2 - 1) × π
    -0.0106048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03331615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343391418457031 × 2 - 1) × π
    0.313217163085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.984000738500893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03331615} λ = -0.03331615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984000738500893))-π/2
    2×atan(2.675137386587)-π/2
    2×1.21306709119402-π/2
    2.42613418238804-1.57079632675     		φ = 0.85533786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03331615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.908875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85533786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.007249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64841 KachelY 45009 -0.03331615 0.85533786 -1.908875 49.007249
    Oben rechts KachelX + 1 64842 KachelY 45009 -0.03326821 0.85533786 -1.906128 49.007249
    Unten links KachelX 64841 KachelY + 1 45010 -0.03331615 0.85530641 -1.908875 49.005447
    Unten rechts KachelX + 1 64842 KachelY + 1 45010 -0.03326821 0.85530641 -1.906128 49.005447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85533786-0.85530641) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dl = 200.36795000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85533786-0.85530641) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dr = 200.36795000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03331615--0.03326821) × cos(0.85533786) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.655963532960457 × 6371000     		do = 200.348147467476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03331615--0.03326821) × cos(0.85530641) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.655987270862783 × 6371000     		du = 200.355397633859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85533786)-sin(0.85530641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655963532960457-0.655987270862783)×R²
    abs(-0.03326821--0.03331615)×2.37379023254602e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37379023254602e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37379023254602e-05×40589641000000     		ar = 40144.0739482824m²