Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64840 / 46024
↖ ↑ ↗
← N 47.144898°
W  1.911621°		 ← 207.69 m → N 47.144898°
W  1.908875°		 →
↑
207.76 m
↓
↑
207.76 m
↓
N 47.143029°
W  1.911621°		 ← 207.70 m →
43 150 m²		 N 47.143029°
W  1.908875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494693756103516 y=0.351139068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494693756103516 × 217)
    floor (0.494693756103516 × 131072)
    floor (64840.5)     		tx = 64840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351139068603516 × 217)
    floor (0.351139068603516 × 131072)
    floor (46024.5)     		ty = 46024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64840 / 46024 ti = "17/64840/46024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64840/46024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64840 ÷ 217
    64840 ÷ 131072     		x = 0.49468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46024 ÷ 217
    46024 ÷ 131072     		y = 0.35113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.0106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03336408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35113525390625 × 2 - 1) × π
    0.2977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.935344785386536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03336408} λ = -0.03336408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935344785386536))-π/2
    2×atan(2.54809185113552)-π/2
    2×1.19681500670741-π/2
    2.39363001341483-1.57079632675     		φ = 0.82283369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03336408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.911621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82283369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.144898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64840 KachelY 46024 -0.03336408 0.82283369 -1.911621 47.144898
    Oben rechts KachelX + 1 64841 KachelY 46024 -0.03331615 0.82283369 -1.908875 47.144898
    Unten links KachelX 64840 KachelY + 1 46025 -0.03336408 0.82280108 -1.911621 47.143029
    Unten rechts KachelX + 1 64841 KachelY + 1 46025 -0.03331615 0.82280108 -1.908875 47.143029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82283369-0.82280108) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dl = 207.758309999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82283369-0.82280108) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dr = 207.758309999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03336408--0.03331615) × cos(0.82283369) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.680146630386361 × 6371000     		do = 207.690955752416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03336408--0.03331615) × cos(0.82280108) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.680170535636179 × 6371000     		du = 207.698255508028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82283369)-sin(0.82280108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680146630386361-0.680170535636179)×R²
    abs(-0.03331615--0.03336408)×2.39052498182124e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.39052498182124e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.39052498182124e-05×40589641000000     		ar = 43150.280265701m²