Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64836 / 45891
↖ ↑ ↗
← N 47.392771°
W  1.922607°		 ← 206.76 m → N 47.392771°
W  1.919861°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
N 47.390912°
W  1.922607°		 ← 206.77 m →
42 747 m²		 N 47.390912°
W  1.919861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494663238525391 y=0.350124359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494663238525391 × 217)
    floor (0.494663238525391 × 131072)
    floor (64836.5)     		tx = 64836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350124359130859 × 217)
    floor (0.350124359130859 × 131072)
    floor (45891.5)     		ty = 45891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64836 / 45891 ti = "17/64836/45891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64836/45891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64836 ÷ 217
    64836 ÷ 131072     		x = 0.494659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45891 ÷ 217
    45891 ÷ 131072     		y = 0.350120544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.01068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03355583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350120544433594 × 2 - 1) × π
    0.299758911132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.941720393036003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03355583} λ = -0.03355583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941720393036003))-π/2
    2×atan(2.56438938316246)-π/2
    2×1.19897811506224-π/2
    2.39795623012448-1.57079632675     		φ = 0.82715990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03355583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.922607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82715990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.392771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64836 KachelY 45891 -0.03355583 0.82715990 -1.922607 47.392771
    Oben rechts KachelX + 1 64837 KachelY 45891 -0.03350789 0.82715990 -1.919861 47.392771
    Unten links KachelX 64836 KachelY + 1 45892 -0.03355583 0.82712745 -1.922607 47.390912
    Unten rechts KachelX + 1 64837 KachelY + 1 45892 -0.03350789 0.82712745 -1.919861 47.390912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82715990-0.82712745) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82715990-0.82712745) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03355583--0.03350789) × cos(0.82715990) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.676968834312043 × 6371000     		do = 206.763707176707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03355583--0.03350789) × cos(0.82712745) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.676992717534724 × 6371000     		du = 206.771001727668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82715990)-sin(0.82712745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676968834312043-0.676992717534724)×R²
    abs(-0.03350789--0.03355583)×2.38832226810981e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38832226810981e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38832226810981e-05×40589641000000     		ar = 42746.8657573867m²