Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64833 / 47937
↖ ↑ ↗
← N 43.450925°
W  1.930847°		 ← 221.73 m → N 43.450925°
W  1.928100°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
N 43.448931°
W  1.930847°		 ← 221.74 m →
49 160 m²		 N 43.448931°
W  1.928100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494640350341797 y=0.365734100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494640350341797 × 217)
    floor (0.494640350341797 × 131072)
    floor (64833.5)     		tx = 64833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365734100341797 × 217)
    floor (0.365734100341797 × 131072)
    floor (47937.5)     		ty = 47937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64833 / 47937 ti = "17/64833/47937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64833/47937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64833 ÷ 217
    64833 ÷ 131072     		x = 0.494636535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47937 ÷ 217
    47937 ÷ 131072     		y = 0.365730285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494636535644531 × 2 - 1) × π
    -0.0107269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03369964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365730285644531 × 2 - 1) × π
    0.268539428710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.843641496413368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03369964} λ = -0.03369964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843641496413368))-π/2
    2×atan(2.32481739556587)-π/2
    2×1.16457901559843-π/2
    2.32915803119687-1.57079632675     		φ = 0.75836170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03369964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.930847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75836170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.450925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64833 KachelY 47937 -0.03369964 0.75836170 -1.930847 43.450925
    Oben rechts KachelX + 1 64834 KachelY 47937 -0.03365170 0.75836170 -1.928100 43.450925
    Unten links KachelX 64833 KachelY + 1 47938 -0.03369964 0.75832690 -1.930847 43.448931
    Unten rechts KachelX + 1 64834 KachelY + 1 47938 -0.03365170 0.75832690 -1.928100 43.448931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75836170-0.75832690) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dl = 221.71080000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75836170-0.75832690) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dr = 221.71080000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03369964--0.03365170) × cos(0.75836170) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.725963697500083 × 6371000     		do = 221.727999522114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03369964--0.03365170) × cos(0.75832690) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.725987630169668 × 6371000     		du = 221.735309175432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75836170)-sin(0.75832690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725963697500083-0.725987630169668)×R²
    abs(-0.03365170--0.03369964)×2.39326695844477e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39326695844477e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39326695844477e-05×40589641000000     		ar = 49160.3024759102m²