Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64833 / 45889
↖ ↑ ↗
← N 47.396490°
W  1.930847°		 ← 206.75 m → N 47.396490°
W  1.928100°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
N 47.394631°
W  1.930847°		 ← 206.76 m →
42 744 m²		 N 47.394631°
W  1.928100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494640350341797 y=0.350109100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494640350341797 × 217)
    floor (0.494640350341797 × 131072)
    floor (64833.5)     		tx = 64833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350109100341797 × 217)
    floor (0.350109100341797 × 131072)
    floor (45889.5)     		ty = 45889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64833 / 45889 ti = "17/64833/45889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64833/45889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64833 ÷ 217
    64833 ÷ 131072     		x = 0.494636535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45889 ÷ 217
    45889 ÷ 131072     		y = 0.350105285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494636535644531 × 2 - 1) × π
    -0.0107269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03369964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350105285644531 × 2 - 1) × π
    0.299789428710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.941816266835243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03369964} λ = -0.03369964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941816266835243))-π/2
    2×atan(2.56463525270139)-π/2
    2×1.19901056570421-π/2
    2.39802113140843-1.57079632675     		φ = 0.82722480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03369964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.930847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82722480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.396490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64833 KachelY 45889 -0.03369964 0.82722480 -1.930847 47.396490
    Oben rechts KachelX + 1 64834 KachelY 45889 -0.03365170 0.82722480 -1.928100 47.396490
    Unten links KachelX 64833 KachelY + 1 45890 -0.03369964 0.82719235 -1.930847 47.394631
    Unten rechts KachelX + 1 64834 KachelY + 1 45890 -0.03365170 0.82719235 -1.928100 47.394631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82722480-0.82719235) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82722480-0.82719235) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03369964--0.03365170) × cos(0.82722480) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.676921065728156 × 6371000     		do = 206.749117421625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03369964--0.03365170) × cos(0.82719235) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.676944950376512 × 6371000     		du = 206.756412408023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82722480)-sin(0.82719235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676921065728156-0.676944950376512)×R²
    abs(-0.03365170--0.03369964)×2.38846483556765e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38846483556765e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38846483556765e-05×40589641000000     		ar = 42743.8495317664m²