Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64831 / 45888
↖ ↑ ↗
← N 47.398349°
W  1.936340°		 ← 206.70 m → N 47.398349°
W  1.933594°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
N 47.396490°
W  1.936340°		 ← 206.71 m →
42 733 m²		 N 47.396490°
W  1.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494625091552734 y=0.350101470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494625091552734 × 217)
    floor (0.494625091552734 × 131072)
    floor (64831.5)     		tx = 64831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350101470947266 × 217)
    floor (0.350101470947266 × 131072)
    floor (45888.5)     		ty = 45888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64831 / 45888 ti = "17/64831/45888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64831/45888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64831 ÷ 217
    64831 ÷ 131072     		x = 0.494621276855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45888 ÷ 217
    45888 ÷ 131072     		y = 0.35009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494621276855469 × 2 - 1) × π
    -0.0107574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03379551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35009765625 × 2 - 1) × π
    0.2998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.941864203734863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03379551} λ = -0.03379551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941864203734863))-π/2
    2×atan(2.5647581963108)-π/2
    2×1.19902679016648-π/2
    2.39805358033296-1.57079632675     		φ = 0.82725725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03379551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.936340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82725725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.398349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64831 KachelY 45888 -0.03379551 0.82725725 -1.936340 47.398349
    Oben rechts KachelX + 1 64832 KachelY 45888 -0.03374758 0.82725725 -1.933594 47.398349
    Unten links KachelX 64831 KachelY + 1 45889 -0.03379551 0.82722480 -1.936340 47.396490
    Unten rechts KachelX + 1 64832 KachelY + 1 45889 -0.03374758 0.82722480 -1.933594 47.396490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82725725-0.82722480) × R
    3.24500000000727e-05 × 6371000     		dl = 206.738950000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82725725-0.82722480) × R
    3.24500000000727e-05 × 6371000     		dr = 206.738950000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03379551--0.03374758) × cos(0.82725725) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.676897180367001 × 6371000     		do = 206.69869709815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03379551--0.03374758) × cos(0.82722480) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.676921065728156 × 6371000     		du = 206.70599078052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82725725)-sin(0.82722480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676897180367001-0.676921065728156)×R²
    abs(-0.03374758--0.03379551)×2.38853611552736e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38853611552736e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38853611552736e-05×40589641000000     		ar = 42733.4255523546m²