Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64806 / 48878
↖ ↑ ↗
← N 41.545589°
W  2.005005°		 ← 228.59 m → N 41.545589°
W  2.002258°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
N 41.543533°
W  2.005005°		 ← 228.60 m →
52 254 m²		 N 41.543533°
W  2.002258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494434356689453 y=0.372913360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494434356689453 × 217)
    floor (0.494434356689453 × 131072)
    floor (64806.5)     		tx = 64806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372913360595703 × 217)
    floor (0.372913360595703 × 131072)
    floor (48878.5)     		ty = 48878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64806 / 48878 ti = "17/64806/48878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64806/48878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64806 ÷ 217
    64806 ÷ 131072     		x = 0.494430541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48878 ÷ 217
    48878 ÷ 131072     		y = 0.372909545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494430541992188 × 2 - 1) × π
    -0.011138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03499394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372909545898438 × 2 - 1) × π
    0.254180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.798532873870895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03499394} λ = -0.03499394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.798532873870895))-π/2
    2×atan(2.22227817326685)-π/2
    2×1.14795182257407-π/2
    2.29590364514813-1.57079632675     		φ = 0.72510732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03499394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.005005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72510732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.545589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64806 KachelY 48878 -0.03499394 0.72510732 -2.005005 41.545589
    Oben rechts KachelX + 1 64807 KachelY 48878 -0.03494600 0.72510732 -2.002258 41.545589
    Unten links KachelX 64806 KachelY + 1 48879 -0.03499394 0.72507144 -2.005005 41.543533
    Unten rechts KachelX + 1 64807 KachelY + 1 48879 -0.03494600 0.72507144 -2.002258 41.543533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72510732-0.72507144) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72510732-0.72507144) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03499394--0.03494600) × cos(0.72510732) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.748428249960143 × 6371000     		do = 228.589252080997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03499394--0.03494600) × cos(0.72507144) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.748452045660133 × 6371000     		du = 228.596519900275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72510732)-sin(0.72507144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748428249960143-0.748452045660133)×R²
    abs(-0.03494600--0.03499394)×2.37956999898925e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37956999898925e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37956999898925e-05×40589641000000     		ar = 52254.3861315441m²