Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64801 / 44216
↖ ↑ ↗
← N 50.415519°
W  2.018738°		 ← 194.62 m → N 50.415519°
W  2.015991°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 50.413769°
W  2.018738°		 ← 194.63 m →
37 881 m²		 N 50.413769°
W  2.015991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494396209716797 y=0.337345123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494396209716797 × 217)
    floor (0.494396209716797 × 131072)
    floor (64801.5)     		tx = 64801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337345123291016 × 217)
    floor (0.337345123291016 × 131072)
    floor (44216.5)     		ty = 44216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64801 / 44216 ti = "17/64801/44216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64801/44216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64801 ÷ 217
    64801 ÷ 131072     		x = 0.494392395019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44216 ÷ 217
    44216 ÷ 131072     		y = 0.33734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494392395019531 × 2 - 1) × π
    -0.0112152099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03523362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33734130859375 × 2 - 1) × π
    0.3253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0220146998996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03523362} λ = -0.03523362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0220146998996))-π/2
    2×atan(2.77878755117897)-π/2
    2×1.22535656113117-π/2
    2.45071312226233-1.57079632675     		φ = 0.87991680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03523362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.018738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87991680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.415519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64801 KachelY 44216 -0.03523362 0.87991680 -2.018738 50.415519
    Oben rechts KachelX + 1 64802 KachelY 44216 -0.03518568 0.87991680 -2.015991 50.415519
    Unten links KachelX 64801 KachelY + 1 44217 -0.03523362 0.87988625 -2.018738 50.413769
    Unten rechts KachelX + 1 64802 KachelY + 1 44217 -0.03518568 0.87988625 -2.015991 50.413769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87991680-0.87988625) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dl = 194.634050000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87991680-0.87988625) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dr = 194.634050000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03523362--0.03518568) × cos(0.87991680) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.637215267467974 × 6371000     		do = 194.621944605717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03523362--0.03518568) × cos(0.87988625) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.637238811623797 × 6371000     		du = 194.629135596932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87991680)-sin(0.87988625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637215267467974-0.637238811623797)×R²
    abs(-0.03518568--0.03523362)×2.35441558227301e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35441558227301e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35441558227301e-05×40589641000000     		ar = 37880.7571064714m²